積分の問題

質問

積分の問題
aが帰納法で解答できるけど、b,c問の解き方がよくわからない。
どなたか教えていただけませんでしょうか＞＜
よろしくお願いします。

回答No.7

lineage_of_kei · ベストアンサー

>n>kのとき n-k≧1より
>k!∫(x=-∞～∞)d^(n-k)(exp(-x^2))/dx^(n-k)dx =0
>ちょっとわからないですけと、よろしくお願いします。

ちゃんと計算すれば出そうなものですが・・・

計算は書くの面倒なので、厳密に示すには帰納法しかないねとだけ言っておいて私はイメージでこの式を示そうと思います。

exp(-x^2)

の±∞の極限は当然0ですよね？だんだんこの値に『収束』するわけです。
ある値にこのように収束するときはその１階のどう関数の値は0となる（横ばいのグラフになる）
つまり、

d/dx [exp(-x^2)]　→　0

ですね？もうここまで言えば察してもらえるかと思いますが、この領域の端っこにおいてこの関数は何度微分しても0の値しかとれません。

d^n/dx^n [exp(-x^2)]　→　0 (@ x=±∞)

そうすると

∫dx d^n/dx^n [exp(-x^2)] ｘ：-∞→∞

= [ d^(n-1)/dx^(n-1) [exp(-x^2)] ] x=-∞,∞

=0

です。厳密ではありませんが、こんなイメージの式です。

余計なお世話かもしれないですが、帰納方を使う場合一番初めに

∫dx d/dx [exp(-x^2)] ｘ：-∞→∞
＝０

を示す必要があるわけですがこれは自明ですよね？
個の計算が示せないなら私の解説はほぼ無意味です。

お礼

ご回答ありがとうございました

回答No.10

alice_44

間の「…」は、Σ を使えば、不要でしょう。
(c) 式左辺の Hm(x) のほうだけを、(a) を使って No.3 のように書き、
積分を Σ の項ごとにバラします。
各項に (b) を適用すれば、オシマイ。

回答No.9

lineage_of_kei

＞＃８さん

（a）を使うというのは多項式展開できるという結果でしょうか？

確かに自分で計算してチェックする程度なら帰納法はいらないですね。

問題を簡単にして

∫dx x^n exp(-x^2)

=・・・

という計算をするときは、積分してnを小さくしていけばいいじゃないかという事ですよね？
別にそれができるならそれでもいいと思いますよ。この計算におけるnの値は正の値ですので。

ただ、私はあんまり何度も1つの式を変形して微分積分を繰り返すのが好きではないのですよ（笑
帰納法を使えば繰り返し何度も積分はしなくて済む。
個人的にn回積分を式にして変形するときに間を・・・とごまかすのが嫌なんですｗ

単に美意識の問題です。

回答No.8

Tacosan

帰納法って本当に必要なのかなぁ＞#7. (a) を使っていいような気もするんだけど.

回答No.6

noname#121794

君は基本はできるかもしれないけど応用力が足りていないようだ。
(2)
d^n(exp(-x^2))/dx^nを１回積分するとd^(n-1)(exp(-x^2))/dx^(n-1)が分かれば何のこっちゃない。
与式＝[(-1)^n(x^k)d^(n-1)(exp(-x^2))/dx^(n-1)]＋k∫x^(k-1)(-1)^(n-1){d^(n-1)(exp(-x^2))/dx^(n-1)}dx
＝
・
・
・
　　＝[∑(i=0～k-1)(-1)^(n-i)(k!x^(k-i)/(k-i)!)d^(n-1-i)(exp(-x^2))/dx^(n-1-i)
＋k!∫(-1)^(n-k){d^(n-k)(exp(-x^2))/dx^(n-k)}dx]

(これ以上長い式を書くのはかんべいだ。)

n=kのとき

[(-1)^(n-i)(k!x^(k-i)/(k-i)!)d^(n-i)(exp(-x^2))/dx^(n-i)] は各iについて
x=±∞で0になるので
結局k!∫(x=-∞～∞)exp(-x^2)dxを求めればよい。

n>kのとき n-k≧1より
k!∫(x=-∞～∞)d^(n-k)(exp(-x^2))/dx^(n-k)dx =0 からわかる。

(3)まずn=mとする
(a)からHn(x)の最高次係数が2^nで(2)の結果により
∫(-∞～∞)Hn(x)Hm(x)exp(e^(-x^2))dx
=2^n∫(-∞～∞)x^nHn(x)exp(e^(-x^2))dx　であるのが分かるだろう。

n=mのとき　
n>mとしても一般性は失われないから(2)より
∫(-∞～∞)Hn(x)Hm(x)exp(e^(-x^2))dx＝2^m∫(-∞～∞)x^mHn(x)exp(e^(-x^2))dx
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝0

お礼

早速回答ありがとうございました。
本当に助かりました！
n>kのとき n-k≧1より
k!∫(x=-∞～∞)d^(n-k)(exp(-x^2))/dx^(n-k)dx =0 ちょっとわからないですけと、よろしくお願いします。

回答No.5

naniwacchi

おはようございます。

#4さんが言われているように、
「エルミート多項式」の問題なので検索してもいろいろと出てくるはずです。
問題の書き方からすると、物理数学の問題っぽいですね。

要は、ひたすら計算すべし。です。
まずは、与えられている式を代入するなりして、いろいろとこねくりまわすことが大事です。
みなさん、最初はそこからやってるはずですよ。＾＾

回答No.4

lineage_of_kei

眺めた感じなのだけどもkをパラメータとして(b)も帰納法で証明じゃなかろうか？

k=1のとき、もろもろ計算すると成立するようですし。

（c）は直交条件ですね。

これはぼんやりとしか覚えてないのですが、量子力学の波動関数の問題ですか？
調和振動か、水素原子だかの計算したらこんな感じの解がでたような・・・

回答No.3

alice_44

多項式 Hn(x) を = Σ[k=0…n] Ck x^k と置いてみれば、
(a), (b) の使用方法が解るんじゃない？

回答No.2

Tacosan

おぉ, c は問題そのものに「a と b から」って書いてあるよ... でも, まぁその通りだしなぁ.

回答No.1

Tacosan

b は部分積分かな. c は a と b から.