三角関数の方程式

質問

三角関数の方程式

次の方程式の解き方がわかりません。
ヒントだけでも教えてください。

未知数ｘ、ｙについての方程式
(sinx)(siny)=a
(sinx)(cosy)=b
cosx=c

a,b,cは既知

よろしくお願いします

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

ANo.3です。

先ほどは「基本的に解無し」と書いたのですが、
正確には
・a, b, cがa^2 + b^2 + c^2 = 1を満たす時、解あり
・a, b, cがa^2 + b^2 + c^2 = 1を満たさない時、解なし
となります。

蛇足かもしれませんが、一応根拠を書いておきます。

三角関数は全ての角Θに対して恒等式sin^2Θ + cos^2Θ = 1が成り立ちます。
なのでsin^2x + cos^2x = 1とsin^2y + cos^2y = 1が必ず成り立つはずです。
今回はcosx = cとなっているので、角xに対してこの恒等式を成り立たせるために
sinx = ±√(1 - c^2)としなければいけません。

同様に角yについてもこの恒等式が成り立たせなければいけません。
ここでsiny, cosyについて考えると、
(sinx)(siny)=a
(sinx)(cosy)=b
より
siny = a/sinx
cosy = b/sinx
なので、
sin^2y + cos^2y = (a^2 + b^2)/(sin^2x)
となります。
よって(a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1とならなくてはいけません。
（そうしないと恒等式sin^2y + cos^2y = 1が成立しなくなってしまいます）。

さて、(a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1という条件式をもっと整理してみます。

sinx = ±√(1 - c^2)なので、
(a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1
(a^2 + b^2)/(1 - c^2) = 1
a^2 + b^2 = 1 - c^2
∴a^2 + b^2 + c^2 = 1

よって正当な解が得られるのは
a^2 + b^2 + c^2 = 1の時に限定されるということになります。

回答No.5

noname#121794

cosx=c
となるようなxを求めて、(sinx)(siny)=a　(sinx)(cosy)=b
となるyを求めるだけ。これ以上簡単なことはない

回答No.3

R_Earl

未知数が2つなのに、式は3つあるのでしょうか？
だとしたら「解無し」です。
(sinx)(siny)=a
(sinx)(cosy)=b
cosx=c
の3式を同時に満たすx, yの組は基本的に存在しません
(a, b, cの値によっては解が定まる場合がありますが…)。

回答No.2

Mr_Holland

＞(sinx)(siny)=a　　・・・(1)
＞(sinx)(cosy)=b　　・・・(2)
＞cosx=c　　　　　　・・・(3)

　式(3)から
　　∴　x=±arccos(c)+2nπ　　（n:整数）

　b≠0　のとき　式（1）／式（2）から
　　　　tan(y)=a/b
　　∴　y=arctan(a/b)+mπ　　　（m:整数）

　b=0　のとき　sin(x)=0 または　cos(y)=0
　　∴　a=0のとき　x=kπ (k:整数), y:任意
　　　　a≠0のとき　x=(2i±1/2)π, y=(2j±1/2)π　　（i,j:整数, 複号は同順で　a>0のとき正、a<0のとき負）

　従って、以上をまとめると次のようになります。
　　a=b=0 のとき　　　　　　x=nπ (n:整数), y:任意
　　0<a≦1,b=0 のとき　　　x=(2n+1/2)π, y=(2m+1/2)π　　（n,m:整数）
　　-1≦a<0,b=0 のとき　　　x=(2n-1/2)π, y=(2m-1/2)π　　（n,m:整数）
　　-1≦a≦1,b≠0 のとき　　x=±arccos(c)+2nπ, y=arctan(a/b)+mπ　　（n,m:整数、複号はa,b,cの符号関係で判断します。）

　ちなみに、arccosやarctanは逆三角関数で、それぞれ次の範囲で値を返すものとしています。
　　arccos: [0,+π)
　　arctan: [0,+π/2)

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

通常の連立方程式と同様に、「xを消去」や「yを消去」ということを考えれば・・・
以下の 2つの関係式を用いれば、解けそうです。
・sinθ/cosθ＝ tanθ
・sin^2(θ)+ cos^2(θ)＝ 1

どうも、xも yも逆三角関数として与えられますね。