微分方程式のシャルピーの解法について
シャルピーの解法に沿って2変数関数u=u(x,y)を含めた微分方程式F(x,y,u,p,q)=0 (p=∂u/∂x,q=∂u/∂y)の解を求める際に特性方程式{dx/(∂F/∂p)}={dy/(∂F/∂q)}=[du/{p(∂F/∂p)+q(∂F/∂q)}]=-[dp/{(∂F/∂x)+p(∂F/∂u)]=-[du/{(∂F/∂y)+q(∂F/∂u)}]というのがでてきますが、これを導く手順についていくつか分からない点があります。
手順1:pとqを共にx,y,uの関数で表し、p=∂u/∂x=p(x,y,u),q=∂u/∂y=q(x,y,u)とする。
※質問ですがuはxとyの関数なので、xやyで偏微分すると同じくxとyの関数になると思うのですが、ここではあえてそのxとyの式を変形してu=(x,y)を入れ込むということでしょうか？
手順2:2変数関数u=u(x,y)の全微分duはdu=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=pdx+qdyとなり、これを変形するとpdx+qdy-du=0となる。この式を(1)とおく。(1)はu=u(x,y)-u=C [Cは任意定数でuは独立変数]の解を持つので、積分可能と言える。
※質問ですが、"(1)が解u=u(x,y)-u=Cを持つ"というのは一体どうして分かるのでしょうか？
また、その後に"積分可能と言える"とありますが、"微分方程式が解をもてば、その微分方程式が積分可能である"とも言えるのでしょうか？
手順2の続きです。
(1)は積分可能条件を満たすので、ベクトルA=[p,q,-1]とおくと、A・(rotA)=0を満たす。これを計算すると、-p(∂q/∂u)+q(∂p/∂u)-{(∂q/∂x)-(∂p/∂y)}=0という関係式が導ける。この式を(2)と置く。
手順3:p,qを求めるためにもう1つ関係式G(x,y,u,p,q)=b(bは定数)を用意する。ここでFもGもx,y,uの関数であることが言える。次に(2)の式を解くために必要な(∂q/∂u),(∂p/∂u),(∂q/∂x),(∂p/∂y)を得るためFとGをx,y,uでそれぞれ偏微分する。
まずxで偏微分すると、Fは(∂F/∂x)+(∂F/∂p)*(∂p/∂x)+(∂F/∂q)*(∂q/∂x)=0,Gは(∂G/∂x)+(∂G/∂p)*(∂p/∂x)+(∂G/∂q)*(∂q/∂x)=0という式になる。
※ここで質問ですが、これらの式はどう解釈したらいいのでしょうか？
例えばF(x,y,u,p,q)=px-qy-u=0という式があった場合x,y,u,p,qを独立変数ととらえた場合(∂F/∂x)=pという式が出てくると思います。
しかし、(∂F/∂x)とは別に(∂F/∂p)*(∂p/∂x)+(∂F/∂q)*(∂q/∂x)という項があるのを見ると、一体この2つの項はどこから出てきたのかが疑問に思えます。xの関数であるpとqの合成関数の微分のようにも見えます。ただuもxとyの関数であるはずですので、なぜ(∂u/∂x)といった項が出てきていないのか分かりません。
手順3の続きです。
次にFとGをyで偏微分すると、Fは(∂F/∂y)+(∂F/∂p)*(∂p/∂y)+(∂F/∂q)*(∂q/∂y)=0,Gは(∂G/∂y)+(∂G/∂p)*(∂p/∂y)+(∂G/∂q)*(∂q/∂y)=0となる。
最後にFとGをuで偏微分すると(∂F/∂u)+(∂F/∂p)*(∂p/∂u)+(∂F/∂q)*(∂q/∂u)=0,Gは(∂G/∂u)+(∂G/∂p)*(∂p/∂u)+(∂G/∂q)*(∂q/∂u)=0
※ここでも同じ質問ですが、これらの式はどのように考えたらでてくるのか疑問です。
さらにこの手順に従って進めると上に挙げたFとGをx,y,uで偏微分した6つの式から(∂q/∂u),(∂p/∂u),(∂q/∂x),(∂p/∂y)の値が出てきてこれらを(2)の式に代入することで、最終的に{dx/(∂F/∂p)}={dy/(∂F/∂q)}=[du/{p(∂F/∂p)+q(∂F/∂q)}]=-[dp/{(∂F/∂x)+p(∂F/∂u)]=-[du/{(∂F/∂y)+q(∂F/∂u)}]という特性方程式が出て、この中の２つを用いてもう1つのpとqの関係式Gを求めるようです。このFとGからpとqの値が求まるので、これを用いて解を求めるようになっています。
長くなりましたが、私が間違っている箇所も含めて解説していただければと思います。
お礼
ありがとうございます。ぜひやってみます。今後ともぜひとも頑張って数学を生かします