大学入試（数学・ベクトル） 正五角形について

質問

• 正五角形についての大学入試の問題に対して、解答の解説が「対称性よりベクトル０」とありました。
• ベクトルＯＡの終点にベクトルＯＢの始点を合わせると、結局ベクトルＯＡの始点に戻るため、ベクトル０が答えとして合います。
• しかし、「対称性より」という表現が具体的に何を指しているのか分かりません。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

「こうこう」の議論の前に、言葉をきちんとしておきましょう。＾＾

＞平面上に正五角形ＡＢＣＤＥがある。その中心をＯとすると、
最近、たまに見かけますが「図形の中心」という言い方はあまり望ましくないと思います。
いまの場合であれば、外接円の中心と呼ぶのが適当だと思います。
試験の解答で、いきなり中心などと書かないようにした方がよいです。

で、外接円の中心として考えてみると、
まず、OA＝ OB＝ OC＝ OD＝ OEとなることがわかりますね。
添付の図で、OB→と OE→、OC→とOD→はそれぞれ辺OAに対して線対称な関係にあります。
つまり、OB→+ OE→や OC→+ OD→は OA→の定数倍になることがわかります。

考えているベクトル和は
OA→+ OB→+ OC→+ OD→+ OE→
＝ OA→+ (OB→+ OE→)+ (OC→+ OD→)
＝ k(A)* OA→

と表されることになります。（k(A)は定数）

あとは、これを 72度ずつ回転させて考えてみます。
つまり、辺OAを辺OB、辺OC・・・と考えていきます。
すると、
OA→+ OB→+ OC→+ OD→+ OE→
＝ k(A)* OA→
＝ k(B)* OB→
＝ k(C)* OC→
＝ k(D)* OD→
＝ k(E)* OE→

と表されることとなって、k(なんとか)の係数はすべて 0でなければならないことになります。

図形的にいえば、ベクトル和の終点（始点を点Oとして）が
辺OA上にあり、かつ辺OB上にあり、かつ・・・
となるのは、点O自身に戻ってきているときである。
ということになります。

対称性と呼んでいるのは、どちらかといえば回転に対する対称性というのが正しいと思います。

お礼

naniwacchiさん

ご回答いただきありがとうございます。
納得です。