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順列の問題

四つの数字1,2,3,4を並べ替えてa1,a2,a3,a4とするとき、a1≠1、a2≠2、a3≠3、a4≠4 をみたす並べ方は( )とおりである。 実際並べて、答えは9だと思うのですが、 並べないで考えるとどういう式をたてればよいのでしょうか? よろしくお願いします。

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noname#24477
noname#24477
回答No.1

場合分けして数えて行くのが確実で 簡単な式で計算することは出来ないと思います。 並べ方は全部で4!=24 そのうち 4つとも同じ 1通り 3つだけ同じ 無し 2つだけ同じ 4C2=6通り 1つだけ同じ 1個を固定すると異なるものが2通り出来るから 4*2=8通り だから同じものが無い並べ方は 24-(1+6+8)=9 通り

stripe
質問者

お礼

どうもありがとうございます。 >2つだけ同じ 4C2=6通り >1つだけ同じ 1個を固定すると異なるものが2通り出来るから 4*2=8通り というのが、ちょっとよくわからないのですが、もうちょっと詳しく教えていただけないでしょうか?

その他の回答 (4)

noname#24477
noname#24477
回答No.5

補足します。 a,b,c,dを並べ替えるとします。 2つ一致の場合 a,bを固定するとc,dの入れ替えしかありません。 4つのうち、どの2つを固定するか決めればいいので (入れ替えるほうを決めても同じですが)4C2  1つだけ一致の場合  1つ固定してみます。aが一致して残り3つの入れ替えは c,d,aあるいはd,a,cの2通りしかありません。 (これは実際に数えています。) 一致する一つを選ぶのが4通り、それに対して2通りずつ あるわけだから 4*2 それにしても#4さんの紹介のように漸化式が作られているんですね。 こういう問題は群の話で、置換群などをやるとき出てきます。

stripe
質問者

お礼

補足どうもありがとうございます。 よくわかりました!!!!!! 確立系の問題は、頭が堅いと大変です(汗 どうもありがとうございました!~

回答No.4

stripeさん、こんにちは。 御質問の順列はすれ違い順列或いは完全順列などと 呼ばれているものです。 その個数をD(n)(nは順列の次数)とすると 次の漸化式が成り立ちます。 D(1)=0 D(n)=n*D(n-1)+(-1)^n (n>=2) 従って、 D(2)=1、D(3)=2、D(4)=9、D(5)=44・・・ となります。 漸化式の証明は下記サイトをご覧ください。

参考URL:
http://plaza16.mbn.or.jp/~graph_puzzle/2no29.htm
stripe
質問者

お礼

そんな公式があるんですね。 参考にさせていただきます。 ありがとうございました。

回答No.3

まず順列の問題についてのアドバイスとして素直に考えてみてなかなか解答の指針がたたないといったときは余事象を考えてみることです。 では余事象を考えましょう。 4つ一致 1通り ですね。 3つ一致 3つ一致することはありえませんね。 2つ一致 一致しているものを4つのうちから2つ選ぶと考えて4C2=6通り 1つだけ同じ 1つを固定するとちがうものが2個できるとかんがえます 4×2=8通り 全体の事象は4!で24。 よって24-1-6-8=9となります。 暑い中大変ですが頑張って下さい。

stripe
質問者

お礼

>まず順列の問題についてのアドバイスとして素直に考えてみてなかなか解答の指針がたたないといったときは余事象を考えてみることです。 そうですよね!でもこの問題をみたときはそんなことよく思いつきませんでした(^^; >2つ一致 一致しているものを4つのうちから2つ選ぶと考えて4C2=6通り 1つだけ同じ 1つを固定するとちがうものが2個できるとかんがえます 4×2=8通り ここのところがよくわからないのですが、もうちょっと詳しくおしえていただけないでしょうか?

  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.2

もっと簡単な求め方があるかもしれませんが、とりあえず、思い付いた方法で。 1,2,3,4の並べ方は4!=24通り a1=1,a2=2,a3=3,a4=4・・・☆ (解法1) ☆の4つの式のうちk個だけ成り立つ場合の数をn(k)とおくと n(1)=8,n(2)=6,n(3)=0,n(4)=1より 24-{n(1)+n(2)+n(3)+n(4)}=9 (解法2) a1=1が成り立つ場合の数をm(1),同様にm(2)~m(4) a1=1,a2が成り立つ場合の数をm(1,2)。同様にm(1,3)~m(3,4)と、m(1,2,3)~m(2,3,4)と、m(1,2,3,4)を定め、 M(1)=m(1)+・・・+m(4)=24 M(2)=m(1,2)+・・・+m(3,4)=12 M(3)=m(1,2,3)+・・・+m(2,3,4)=4 M(4)=m(1,2,3,4)=1 とおくと n=24-M(1)+M(2)-M(3)+M(4)=9

stripe
質問者

お礼

ごかいとうありがとうございます。 解法(1)のほうなのですが、 >n(1)=8,n(2)=6,n(3)=0,n(4)=1より のnが1、2の場合がよくわからないのですが、もうちょっとくわしくおしえていただけないのでしょうか?

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