集合

質問

集合Ａ＝(x-4|x^2-6x+8≧0)
はどうやれば具体的な範囲がわかるのでしょうか？
x-4というところがよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんばんは。

＞集合Ａ＝(x-4|x^2-6x+8≧0)

これは、どういう意味かというと、
集合Aは、(x-4)というものの集まりですよ、
そして、そのｘとは、x^2-6x+8≧0
となるようなxのことですよ、
という意味です。

x^2-6x+8=(x-3)^2-9+8
=(x-3)^2-1
なので、これをyとすると、

y=(x-3)^2-1
これは、頂点(3,-1)下に凸の放物線です。
ですから、
x^2-6x+8≧0となる範囲は、
x^2-6x+8=0を解いて、
x=3±√(3^2-8)=3±1=4,2←因数分解してもよかったです。

なので、x≦2,4≦xの範囲ですね。

さて、ｘは上のような範囲です。
集合Aの要素は、これらよりも４ずつ小さいものの集合なので、

x≦2-4,4-4≦x
すなわち
x≦-2,0≦x

でいいと思います。

（別解）
集合A＝{(x-4|x^2-6x+8≧0) }
であるが、そのx-4のxは、二次不等式を満たすので、

集合A={X｜X=x-4}
という{X}を求めればよいことになります。

これは、平行移動と同じ原理で、

X=x-4
X+4=x
この、小文字のxは、x^2-6x+8≧0を満たすので、
ここに代入すればよい。

(X+4)^2-6(X+4)+8≧0
X^2+8X+16-6X-24+8≧0
X^2+2X≧0
X(X+2)≧0
X≦-2,0≦X

お礼

どうもありがとうございマス！！

いつもｘなのが、変っていたので戸惑ってしまいました。
そうやって考えればよいんですね！

参考にさせていただきます。
ご解答有り難うございました。

回答No.3

Rossana

>＝(y＋4)^2－6(y＋4)＋8
＝y^2＋8y＋64－6y－24＋8
＝y^2＋2y＋48≧0
計算ミスです．すいませんm(__)m
>＝(y＋4)^2－6(y＋4)＋8
＝y^2＋8y＋16－6y－24＋8
＝y^2＋2y≧0
が正しいです．

お礼

どうもありがとうございます！
ふだんとちょっとちがって戸惑ってしまいました。

訂正了解しました！
参考にさせていただきます。
ありがとうございました～。

回答No.2

Rossana

y＝x－4とすると，
x^2－6x＋8
＝(y＋4)^2－6(y＋4)＋8
＝y^2＋8y＋64－6y－24＋8
＝y^2＋2y＋48≧0
で考えれば，あとは簡単ですね．