2次関数

質問

放物線の方程式を、平方完成するやり方などが理解できません。説明してもらえないでしょうか？

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

以下の方式が一番分かりやすいかと思います．
具体例で計算します．
では
y＝3x^2＋5x＋7を例にとってみます．
ペンを持って次のように計算して下さい．
１．先頭の係数でxを含む項まで次のようにくくる．
　　y＝3[x^2＋(5/3)x]＋7
２．その括弧の中に大きい□を作る．□－□＝0より
　　y＝3[x^2＋(5/3)x＋□－□]＋7
３．xの項の係数5/3の半分5/6を次のように括弧内に入れる．
　　y＝3(x＋5/6)^2＋▲
▲の所はまだ何も書かないで下さい．
４．先ほど作った□の中に上の5/6の２乗25/36を書き込む．
y＝3[x^2＋(5/3)x＋25/36－25/36]＋7
５．さてこの式で上の(x＋5/6)^2に対応する部分と括弧で分けます．
　　y＝3[{x^2＋(5/3)x＋25/36}－25/36]＋7
６．括ります．
y＝3[{x＋5/6}^2－25/36]＋7
７．3を分配します．
y＝3(x＋5/6)^2－3・25/36＋7
上で出てきた▲の部分が－3・25/36＋7となるわけです．
８．▲の部分を計算してまとめます．
　　y＝3(x＋5/6)^2＋59/12
平方完成の完成です．
これをもとにじっくり考えてください．

お礼

回答有難うございます。早速紙と鉛筆を持ってやってみました。例題を載せてくださったので、説明などとてもわかりやすかったです。これをもとにして、教科書の問題などを解いてみて、じっくり考えてみようと思います。

回答No.3

fushigichan

inaba19さん、こんにちは。

平方完成のやりかたが分からないということですね。

y=ax^2+bx+c
という２次関数ですと、(a≠0)

y=a(x^2+(b/a)x)+c
=a{(x+b/2a)^2-(b/2a)^2}+c
=a(x+b/a)^2+c-(b^2/4a)
=a(x+b/a)^2-(b^2-4ac)/4a

という形に平方完成できます。
これを、具体的に言いますと、

y=2x^2+6x+1
=2(x^2+3x)+1
　↑
まず、２でくくる
=2{(x^2+2(3/2)x}+1
=2{(x+3/2)^2-(3/2)^2}+1
　　↑
xの係数の、3の半分、3/2とxとで()^2の形にする
=2(x+3/2)^2-9/2+1
=2(x+3/2)-7/2

となるので、これは頂点(-3/2,-7/2)下に凸の放物線になりますね。
xの係数の3について、

3x=2(3/2)x
と無理やりに変形して、それを(x+3/2)^2
の形に持っていこうとしてるんですね。

同じように

y=x^2+8x+10
={x^2+2(8/2)x}+10
={x^2+2*4x}+10
={(x+4)^2-16}+10
=(x+4)^2-6

となります。これも、xの係数の８を無理やりに
8x=2*(8/2)x=2*4x
と変形しておいて、(x+4x)^2
の形を作っているんですね。

何故２分の１にするかというと、
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2
なので、
x^2+2ax+a^2の形を、x+a)^2の形に持っていこうとしたら
2axというxの項は、xの係数2aを半分にして
(x+a)^2
とすればいいからです。

頑張って、練習してみてくださいね！

お礼

とても細かい説明有難うございます。なぜ２分の１にするかなどが分らなかったんです。なんとなく分りました。きちんと理解出来るよう、頑張って練習をしていきます!数学は問題をたくさん解いたほうが覚えますもんね。

回答No.1

hinebot

y=ax^2+bx+c を y=a(x-p)^2+q の形にすることですね。

まず、ax^2+bx までを aでくくります。

y=a{x^2+(b/a)x} +c

次に、{ }の中を
(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2
の公式に当てはめるためにまず、2mn の部分を作ります。
m=xとして、(b/a)x = 2mn　と考えると n = b/2a になりますね。
あと、公式に当てはめるにはn^2 が必要なのでこれを作ります。すると

y= a{x^2+(b/a)x} +c
= a{x^2+2*(b/2a)x} +c
= a{x^2+2*(b/2a)x+(b/2a)^2 -(b/2a)^2}+c
= a{x+(b/2a)}^2 -a*(b/2a)^2+ c
= a{x+(b/2a)}^2 -(b^2-4ac)/4a
と変形できます。

「y=ax^2+bx+c を y=a(x-p)^2+q の形にする」に戻ると
p = -b/2a, q= -(b^2-4ac)/4a
となる訳です。
なぜ、このように変形するかというと
x = p が軸の方程式
(p,q) が頂点の座標
をそれぞれ表しているからです。

お礼

回答有難うございます。p＝－b/2a,q＝－(b^2-4ac)/4aと言う式は教科書にも出てきましたが、なぜそうなるのかがわからなかったのでとてもよく理解する事が出来ました。