この問題の解き方を教えてください

質問

この問題の解き方を教えてください

x≧0、　y≧-1、　2x+y=3　の時、x^2+y^2の最大値と最小値を求めよ

お願いします

回答No.2

nattocurry

2x+y=3　より
y=3-2x
------
x^2+y^2
=x^2+(3-2x)^2
=x^2+9-12x+4x^2
=5x^2-12x+9
=5(x^2-(12/5)x+9/5)
=5(x^2-2(6/5)x+36/25-36/25+45/25)
=5((x-6/5)^2+9/25)
=5(x-6/5)^2+9/5
------
2x+y=3　より
2x=3-y
x=(3-y)/2
------
y≧-1　より
-y≦1
3-y≦4
(3-y)/2≦2
x≦2
------
0≦x≦2
------
x^2+y^2=5x^2-12x+9=5(x-6/5)^2+9/5　は　x=6/5のときに最小値9/5をとり、0<=x<=2の範囲でx=6/5から一番遠いx=0のときに最大値9をとる。

回答No.1

Hyokko_Lin

まず、x≧0、y≧-1、2x+y=3の表す範囲を図示しましょう。
直線2x+y=3の一部を切り取った線分になりますね。

x^2+y^2=kとおくと、原点中心、半径√kの円を表すことになります。
この円と先ほど求めた線分が共有点を持てば、その時の半径の2乗がx^2+y^2(=k)の値になります。

結局、kの最大値と最小値を求めればよいので、
最大値は線分の端点のうち原点からの距離が大きい方、
最小値は線分と円が接するときになります。
図示してみるとわかりやすいかと思います。

最大値は(0,3)で交わるときで、k=9
最小値は原点と直線2x+y-3=0の間の距離の2乗で、k=9/5
です。