導関数について。

質問

いくつかの関数の導関数がわかりません。ご協力お願いします。

f(x)=√(√(x^2-1)+√(x^2+1))

f(x)=(x+1/x^2)^3

また、積分についても１つわからないので教えてください。

∫ 1/(x^2+2)^2 dx

以上３つ、お願いします。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

Kyon1110さん、こんにちは。同じ因子の２乗を含まない多項式のことを無平方多項式と呼ぶことにします。A(x)を無平方多項式とするとき，1/A(x)^l の形の積分は次の様にエルミートの算法で積分されます。

A(x)が無平方多項式の時，複素数の範囲で
　A(x)=a(x-α1)…(x-αn)　　(α1…αnはすべて異なる)
と因数分解できます。するとA(x)とA'(x)は互いに素であることが分かりますから，
　U・A + V・A' = 1
となる多項式U,V (degV<degA)が存在します。したがって
　∫dx/A^l = ∫dx U/A^(l-1) + ∫dx V・A'/A^l
第２項は部分積分すると，
　-V/((l-1)A^(l-1)) + ∫dxV'/((l-1)A^(l-1))
これを繰り返すと，
　∫dx/A^l = ∫dx(C/A) + C_1/A +…+ C_l-1/A^(l-1)
の形になります。右辺第１項の積分は対数関数で表わせますから積分が出来たことになります。これを1/(x^2+2)^2の積分に適用してみましょう。上の考察より
　∫dx/(x^2+2)^2 = ∫dx(ax+b)/(x^2+2) + (cx+d)/(x^2+2)　…(1)
とおけますが，被積分関数が偶関数なのでa=d=0とおけます。(1)の両辺を微分すると
　　1/(x^2+2)^2 = b/(x^2+2) + (-cx^2+2c)/(x^2+2)^2　
となるので、b=c=1/4が得られます。よって求める積分は
　(1/4)∫dx/(x^2+2) + x/(4(x^2+2))
　= (1/4√2)arctan(x/√2) + x/(4(x^2+2))
となります。
　積分について知りたい人には
　　一松信；微分積分学入門第一課、近代科学社 (1989)
をお勧めします。公式の丸暗記ではなく原理・根拠に言及するという方針で書かれています。また日本語でエルミートの算法について分かりやすく書かれている本は上記以外にあまりな胃と思います。またいろいろな積分法の総覧が
　　Daniel Zwillinger;Handbook of integration, Jones and Bartlett (1992)
で見ることができます。ファインマン・ダイヤグラムのことまで書いてあります。

回答No.4

fushigichan

＃１＃２です。

＞f(x)=(x+1/x^2)^3
というのは、f(x)={x+(1/x^2)}^3ってことです。

これの導関数を求めればいいんですよね？
同じようにしたらどうでしょうか。

t=x+(1/x^2)とおくと、
t=(x^3+1)/x^2
とかけるので、

(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

なので、
dt/dx={(x^3+1)'x^2-(x^3+1)(x^2)'}/x^4
={3x^2*x^2-(x^3+1)(2x)}/x^4
=(3x^4-2x^4-2x)/x^4=(x^3-2)/x^3

df(x)/dx=(dt/dx)*(dt^3/dt)
={(x^3-2)/x^3}*3t^2
={(x^3-2)/x^3}*3*(x^3+1)^2/x^4
=3(x^3-2)(x^3+1)^2/x^7

とすればいいと思います。

回答No.2

fushigichan

kyon1110さん、＃１です。
(1)やってみます。

＞f(x)=√(√(x^2-1)+√(x^2+1))

y=√(√(x^2-1)+√(x^2+1))
とおくと、
y^2=(√(x^2-1)+√(x^2+1))

この両辺を、xで微分すると、
左辺＝(d/dx)y^2=(dy/dx)*(d/dy)(y^2)=(dy/dx)*(2y)

右辺＝{(x^2-1)^(1/2)}'+{(x^2+1)^(1/2)}'
　　　　　　　　　　↑　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　　xで微分　　　　　xで微分
=(1/2)*(2x)*(x^2-1)^(-(1/2))+(1/2)*(2x)*(x^2+1)^(-(1/2))
=x{1/√(x^2-1) + 1/√(x^2+1)}
=x{√(x^2+1 +√(x^2-1)}/√(x^2-1)√(x^2+1)
=x{√(x^2+1 +√(x^2-1)}/√(x^4-1)

求めたいのは、yのxでの微分(dy/dx)であるから、

(dy/dx)=x{√(x^2+1 +√(x^2-1)}/√(x^4-1)/2y
=x{√(x^2+1 +√(x^2-1)}/√(x^4-1)}*{1/√(√(x^2-1)+√(x^2+1)}
=x√(√(x^2+1)+√(x^2-1))/√(x^4-1)

のようになるのではないでしょうか。
計算は、確認してくださいね。

回答No.1

fushigichan

kyon1110さん、こんばんは。
(2)だけで非常に申し訳ないのですが、

＞f(x)=(x+1/x^2)^3

t=(x+1)/x^2
とおきます。
dt/dx={(x+1)'x^2-(x+1)(x^2)'}/(x^2)^2
=-(x^2+1)/x^4
なので、
dt=-(x^2+1)/x^4dx

(d/dx)(f(x))=(dt/dx)*(d/dt)(t^3)=(dt/dx)*3t^2
=3{(x+1)/x^2}^2*(-1)*(x^2+1)/x^4
=-3(x+1)^2(x^2+1)/x^8

となるかと思います。
計算はご確認ください。

補足

ごめんなさい（汗）式のとらえ方がちょっと違いました。
f(x)=(x+1/x^2)^3
というのは、f(x)={x+(1/x^2)}^3ってことです。
ややこしい書き方してすいません。