実数体への無限遠点の添加
実数に無限遠点を加えた代数系を考えてみました。
何か問題や誤りはありませんか？
この代数系では、以前の質問の回答を踏まえて、分配法則が成立します。
http://okwave.jp/qa/q7997401.html
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集合R' = R∪{Ω}
加法は x+Ω=Ω と定義し、次のように計算する。ただし、a, b は 0 でない実数とする。
0+0=0, 0+b=b, 0+Ω=Ω
a+0=a, a+b=a+b, a+Ω=Ω
Ω+0=Ω, Ω+b=Ω, Ω+Ω=Ω
加法の交換法則と結合法則は成立する。
加法の単位元は 0 であるが、Ω の逆元は存在しない。
乗法は x*Ω=Ω と定義し、次のように計算する。ただし、a, b は 0 でない実数とする。
0*0=0, 0*b=0, 0*Ω=Ω
a*0=0, a*b=ab, a*Ω=Ω
Ω*0=Ω, Ω*b=Ω, Ω*Ω=Ω
乗法の交換法則と結合法則は成立する。
乗法の単位元は 1 であるが、0 と Ω の逆元は存在しない。
分配法則は成立する。
減法は -Ω=Ω と定義し、次のように計算する。ただし、a, b は 0 でない実数とする。
0-0=0, 0-b=-b, 0-Ω=Ω
a-0=a, a-b=a-b, a-Ω=Ω
Ω-0=Ω, Ω-b=Ω, Ω-Ω=Ω
除法は 1/0=Ω, 1/Ω=0 と定義し、次のように計算する。ただし、a, b は 0 でない実数とする。
0/0=Ω, 0/b=0, 0/Ω=0
a/0=Ω, a/b=a/b, a/Ω=0
Ω/0=Ω, Ω/b=Ω, Ω/Ω=Ω
絶対値を次のように定義する。ただし、a は 0 でない実数とする。
-|Ω| < -|a| < -|0| = |0| < |a| < |Ω|
Ωの平方根を次のように計算する。
√Ω = |Ω|
べき乗を次のように定義する。ただし、a はR'の元、n は非負の整数とする。
a^1 = a
a^(n+1) = a^n * a
a^-n = 1 / a^n
等式の性質は、次の通り。
A=B ならば A+C=B+C
A=B ならば A*C=B*C
数列a_n のΩへの収束は、次のように定義する。
∀K>0 ∃n_0∈N ∀n∈N [n>n_0 ⇒ |a_n| > K]
この数列の極限値を lim[n→+∞]a_n = Ω で表す。
lim[n→+∞]a_n = 0 ならば lim[n→+∞]1/a_n = Ω となる。
lim[n→+∞]a_n = Ω ならば lim[n→+∞]1/a_n = 0 となる。
Ωによる極限値は、次のように定義する。
lim[x→+∞]f(x) = lim[x→-∞]f(x) ならば lim[x→Ω]f(x) = lim[x→+∞]f(x)
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