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三角関数の問題です。
三角関数の問題です。 cos3θ+sin2θ+cosθ>0を満たすθの範囲を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。 という問題です。次の様に解答したのですが、間違いや、つっこまれそうな所があったら指摘して下さると助かります。 cos3θ=4cos^3θ-3cosθより、 cos3θ+sin2θ+cosθ=4cos^3θ-3cosθ+2sinθcosθ+cosθ =cosθ(4cos^2θ+2sinθ-2)=cosθ{4(1-sin^2θ)+2sinθ-2} =cosθ(-4sin^2θ+2sinθ+2)=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0 ∴cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0 (1)cosθ>0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は負 2sinθ+1>0, sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、0≦θ<π/2,11/6π<θ<2π 2sinθ+1<0, sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。 (2)cosθ<0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は正 2sinθ+1>0, sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。 2sinθ+1<0, sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、7/6π<θ<3/2π (1),(2)から、求めるθの範囲は、0≦θ<π/2,7/6π<θ<3/2π,11/6π<θ<2π 宜しくお願いします。
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- naniwacchi
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こんばんわ。 特にいけないというところはないと思います。＾＾ もうちょっと、「わかりやすく」というか単純にするには、次のような書き方もあります。 ・場合分けについて ＞(1)cosθ>0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は負 ＞(2)cosθ<0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は正 ここは、 (1) cosθ＞ 0、すなわち 0≦θ＜π/2、3π/2＜θ＜2πのとき 2sinθ+ 1＞ 0でなければならない。 よって、・・・ (2) cosθ＜ 0、すなわち π/2＜θ＜3π/2のとき 2sinθ+ 1＜ 0でなければならない。 よって、・・・ 「すなわち」で範囲を書いてしまった方が、場合分けが明確になっていいと思います。 ・回答には、もう少し言葉を書いた方がいいですね。 ＞2sinθ+1>0, ＞sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、0≦θ<π/2,11/6π<θ<2π 2sinθ+ 1＞ 0ならば、sinθ -1＜ 0でなければならない。 これを満たすθの範囲は・・・ ＞2sinθ+1<0, ＞sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。 2sinθ+ 1＜ 0ならば、sinθ -1＞ 0でなければならない。 ところが -1≦ sinθ≦ 1であるから、これを満たすθは存在しない。 （存在しない理由を明確にしておくと betterですね。） 参考になれば、幸いです。＾＾
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質問者からのお礼
分かりました！ いつも回答してくださって、本当に助かっています＾＾ ありがとうございました！