複素数 lim[z->0] z / z~ が存在しない理由は何故ですか

質問

複素数　lim[z->0] z / z~ が存在しない理由は何故ですか？

z = 1+2iとしてみます。
z~ = 1-2iですよね？
(1+2i)/(1-2i)
= {(1+2i)(1+2i)}/{(1-2i)(1+2i)}
= {(1+2i)^2}/{1+4}
= {(1+2i)^2}/5
= {z^2}/5

lim[z->0] {z^2}/5
= 0/5
= 0
になりませんか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

＞z = 1+2iとしてみます。
z=1+2iとしてしまったらzは定数なので、z→0とできませんよね。

例えば、複素数の極座標表示を思い出して
　　z = r*(cos(θ)+i*sin(θ))
と置いてみてください。
これならば、rとθを変化させることでzを好きなように変化させられます。
r→0とすれば、z→0とすることも可能です。

すると
　　z/(z~) = (z^2)/(z*z~) = (z^2)/(|z|^2)
　　　　　 = (z^2)/(r^2)
　　　　　 = ((r^2)*(cos(2θ)+i*sin(2θ)))/(r^2)
　　　　　 = cos(2θ)+i*sin(2θ)
よって
　　lim[z→0]{z/(z~)} = lim[r→0]{cos(2θ)+i*sin(2θ)} = cos(2θ)+i*sin(2θ)

このことからわかるのは、
θ=π/4の時は、
　　z = r*(cos(θ)+i*sin(θ)) = (r/(√2))*(1+i)
　　lim[z→0]{z/(z~)} = cos(2θ)+i*sin(2θ) = i
θ=π/3の時は、
　　z = r*(cos(θ)+i*sin(θ)) = (r/2)*(1+i*(√3))
　　lim[z→0]{z/(z~)} = cos(2θ)+i*sin(2θ) = (-1+i*(√3))/2
というように、lim[z→0]{z/(z~)}の値はzを原点に近づける近づけ方によっての様々な値を取るということです。

なので、limの定義より、極限としてのlim[z→0]{z/(z~)}の決まった値は存在しません。

お礼

> z=1+2iとしてしまったらzは定数なので、z→0とできませんよね。

ごもっともです。(^^ゞ

問題自体が短いので、回答も短いと思ってたのですが、そんな計算をしなければならなかったんですね。

> z/(z~) = (z^2)/(z*z~) = (z^2)/(|z|^2)
> 　　　　　 = (z^2)/(r^2)
> 　　　　　 = ((r^2)*(cos(2θ)+i*sin(2θ)))/(r^2)
> 　　　　　 = cos(2θ)+i*sin(2θ)
> よって
> 　　lim[z→0]{z/(z~)} = lim[r→0]{cos(2θ)+i*sin(2θ)} = cos(2θ)+i*sin(2θ)

ここの変化の様は見事ですね。そうやって変換するんですね。結局、rに拠らない式になってしまいましたね。

> lim[z→0]{z/(z~)}の値はzを原点に近づける近づけ方によっての様々な値を取るということです。

理解できました。
ありがとうございました！