関数は直交関数列を用いて展開できるか？

質問

関数は直交関数列を用いて展開できるか？
ttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/201fur.html
上のサイトでフーリエ級数展開は関数は直交関数列を用いて展開できることを示唆していると
ありました。これは本当でしょうか

それと級数展開はどのような関数によってなされるのでしょうか
テイラー展開は習いましたがべき級数展開は直交関数列ではなされていないようですが

よく調べてみるとヒルベルト空間の基底ベクトルとかいう話も出てきてよくわかりません
この辺おねがいします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

テイラー展開とは別のお話．

「ヒルベルト空間の基底」という言葉がよく分からないなら
たぶん理解できません．

ぶっちゃけた話，正規直交基底が存在するので
それで表すという話です．
ただし，考える線型空間が無限次元なので
当然基底も無限個あって
一次結合も無限和の形になるというのが概略．
そのような線型空間の例として
ある種類の関数から構成されるヒルベルト空間があるということ．

そもそも，あなたは
「直交関数列」とは何だと思っているのでしょうか？
直交関数列の意味がわかるなら「ヒルベルト空間の基底」も知ってそうなものです．

お礼

回答ありがとうございます。
厳しいお言葉をいただいて恐縮です。工学系の身なのですが大学でこんな美しい数学を深く
学べなかったのは残念です。直交関数列の意味は浅く習っている程度でしたので
ヒルベルト空間というのは聞いたこともありませんでした。