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数列なのかな?

次のような仮想的な物質の変化を考える。ある容器に物質Aと物質Bと物質Cが入っている。一定時間tがたつと物質Aはその20%が物質Bに、10%が物質Cに変化し、残り70% は物質Aのままである。同様に物質Bは20%がAに,10%がCに変化し,70%はBのままであり、物質Cは10%がAに,10%がBに変化し,80%はCのままである。以下の問いに答えよ。ただし、時刻T=nt(nは整数)における物質Aの量をanグラム、Bの量をbnグラム、Cの量をcnグラムとし         まとめてXn=(an, bn ,cn) ←縦表示する とあらわす。 解答は既約分数、有理化をして答える。 ① Xn+1 と Xnの関係を式で表せ。 ② Xnをa0,b0,c0を用いて表せ。 ③ lim Xnをa0,b0,coを用いて表せ。  n→∞ という問題なんですけどよろしくお願いします。

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①まず,明らかですが,Xn+1=(an+1,bn+1,cn+1)と表せることを頭に入れておきます。そこで, 1)物質Aに関して  変化によってAの70%,Bの20%,Cの10パーセントがあらたにAになるのですから,  an+1 = 0.7an + 0.2bn + 0.1cn と表せます。 2)物質B,Cについても同様に考えれば,  bn+1 = 0.2an + 0.7bn + 0.1cn cn+1 = 0.1an + 0.1bn + 0.8cn と表せることがわかります。 よって,1・2より Xn+1 = | an+1 | | 0.7an + 0.2bn + 0.1cn | | bn+1 | = | 0.2an + 0.7bn + 0.1cn |  | cn+1 | | 0.1an + 0.1bn + 0.8cn | となることがわかります。よって,行列を使って表せば, Xn+1 = | 0.7 0.2 0.1 | | 0.2 0.7 0.1 | Xn となります。 | 0.1 0.1 0.8 | ② | 0.7 0.2 0.1 | | 0.2 0.7 0.1 | = T とおきます。すると, | 0.1 0.1 0.8 | Xn = TXn-1 = T(TXn-2) = ・・・ = TT・・・TTX1 = TT ・・・ TT(TX0) となり,X0にTがn個かかった形になります。よって, Xn = T^n X0 (T^n = Tのn乗) となります。 ③さて,このとき,T^nを計算しないといけません。が,とてもじゃないですが,なかなか計算することができません。そこで,これを計算するのに,とても便利な知識があります。簡単に言うと,無限回かけると,全ての行が,固有値1に対する固有ベクトルを,絶対値が1になるようにしたものと同じになります。つまり, πT=πであり,πの成分の和が1になるようなものを求めれば,それがT^nの全ての行ベクトルとなります。 これは,基本的な計算で求まるので,ここでは省略します。 それでは,頑張ってください。

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質問者からのお礼

お二人ともありがとうございました。長い間待っていてよかったです。

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  • 回答No.1
noname#4486
noname#4486

遷移過程を行列Aで表示すると、 [1] Xn+1 = AXn = | 0.7an+0.2bn+0.1cn | | 0.2an+0.7bn+0.1cn | | 0.1an+0.1bn+0.8cn |. A = | 0.7 | 0.2 | 0.1 | | 0.2 | 0.7 | 0.1 | | 0.1 | 0.1 | 0.8 |. [2] Xn = A^n X0. [3] A^nを計算して、n→∞. 要するに行列のn乗計算の問題です。物理的にはマルコフ過程と云う奴です。

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