偏微分の変形が分かりません。

質問

偏微分の変形が分かりません。

int_[-r]^[r] { f(√(r^2-y^2), y) - f(-√(r^2-y^2), y) } dy

= r int_[0]^[2pi] f(r*cosθ,r*sinθ)cosθdθ

を示したいです。

y = r*sinθ（0≦r≦1，0≦θ≦2pi）

と極形式に変換したのですが、
f(-√(r^2-y^2), y) 部分が消えずに困っています。

分かる方いらっしゃいますか？

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

＞ y = r*sinθ（0≦r≦1，0≦θ≦2pi）
まず、y=r*sinθとして、r≦y≦r の範囲を置換したんなら、積分範囲は0≦θ≦2πではなくて、例えば、-π/2≦θ≦π/2 ですね。
で、そのとき、
f(√(r^2-y^2), y) = f(|r*cosθ|, r*sinθ)
f(-√(r^2-y^2), y) = f(-|r*cosθ|, r*sinθ)
です。（絶対値がついていることに注意）
で、ここから、|r*cosθ| と、-|r*cosθ| てのを見比べながら、ちょっと考えをめぐらすと、うまいこと、絶対値をとって、その分、積分範囲が一周分（0≦θ≦2π) になって、

int_[-r]^[r] { f(√(r^2-y^2), y) - f(-√(r^2-y^2), y) } dy
= r int_[-π/2]^[π/2] { f(√(|r*cosθ|, r*sinθ) - f(-|r*cosθ|, r*sinθ) } cosθdθ
= r int_[0]^[2pi] f(r*cosθ,r*sinθ)cosθdθ

となるということがわかります。
（ちゃんとした途中式は考えてください）

お礼

分かりました。
途中式も埋めることができました。
ありがとうございました！