LC共振回路の基本動作で解らないことがあります。

質問

LC共振回路の基本動作で解らないことがあります。
コイル１個とコンデンサ１個だけの単純な共振回路の問題で少し解らないことがあります。
基礎的なことで恐縮ですが教えて頂ければす～っとします。

方程式は単振動の方程式と同じですから(ＬC)ｄ2(i)/dt2+i=0 で良いと思います。
このときコイルに蓄えられた磁気エネルギーは1/2Li^2,コンデンサに蓄えられた電気エネルギー
は1/2CV^2 で与えられ、両者がそのエネルギーをやりとりしていると理解しています。
つまりコイルの磁気エネルギーは電流値のみでかつコンデンサの電気エネルギーは電圧のみで決まっています。

そこで私の質問のポイントをのべます。
＊実際に配線してＬＣ共振器を作った時、小さいと言えどもある程度のサイズを持ちますから
電気エネルギはコンデンサに蓄えられた電荷Ｑと電圧Ｖ（ポテンシャル）が作り出す電界のみではなくコイルの電流由来のベクトルポテンシャルの時間変化が与える電界エネルギーの空間積分も共振条件の中に入ってくると思うのですがその項はなぜ考えなくてもよいのでしょうか。電界を式で書くと次式のようになります。E=-gradV-dA/dt この式の２項目を無視しても良い理由が解らないのです。

＊ベクトルポテンシャルの作る電場の電気力線は電荷から飛び出しているわけではないと思います。
従ってＬＣ共振器の等価回路では実際の構造を持つ共振器は表せないのではと心配するのですが
美しい等価回路なのでとても間違っているとは思えません。しかしすっきりしません。

こんなに細かいことはどうでもいいと友達に相談しても相手にしてくれません。
どこかに私の考え違いがあると思います。どうかよろしくお願いします。

回答No.3

foobar · ベストアンサー

コイルに等価的な並列コンデンサに充放電する電荷は、単独では外からは見えないでしょう。あくまでも、「『コイルに流れる電流』の挙動をあらわすのに、理想的なコイルに仮想のコンデンサを並列につないだとみなして計算できる」というものですから。
電界の方向が電線に沿っているということは、電線に沿って微小コンデンサが（分布定数回路的に）並列に接続されている、と見てよいかと思います。

似たようなものに、線間の分布容量があります。dB/dtによるエネルギーは単に線巻分布容量の一部が表現を変えて現れているだけ、という可能性もあるかもしれません。まだ、そこまでは深く考えていません、、。
もし、線間分布容量とは別物の場合でも、外部から見て分離することは困難かと思います。
（その点では、線間容量の一部とみなしても良いのかも。）

このコンデンサの効果は、回路的には、コイルに矩形波電圧を加えたときに、電圧の立ち上がりで急峻な電流が流れるような挙動として現れると予測できます。

実際にそいう効果が現れるか、となると、先に書いたように線巻の分布容量に埋もれたような形になりそうに思います。

で、このコンデンサの影響ですが、銅線周辺での電磁現象が元になっているということから、顕著に現れるのはコイルを集中定数の素子として扱えなくなり、分布定数回路として扱う必要がでるような周波数領域においてかと思います。（上記、線間容量も無視できない領域。）
通常の集中定数として扱う周波数範囲では、それほど顕著には現れない（感覚的には線間の浮遊容量程度以下）のような気がします。（あくまで感覚的に、です）

補足

再度のご回答ありがとうございました。

＞電界の方向が電線に沿っているということは、電線に沿って微小コンデンサが（分布定数回路的に）並列に接続されている、と見てよいかと思います。

この部分は私は少し違う考え方を持っています。コイルを１週回転する電流ははじめと終わりの電流は
確実にくべつができますが、回転する電場は１回転すると１周前のコイルに沿う回転電界と同位相に近い
ため区別することができないのではないかと思います。従って並列に接続された容量とは考えにくいと
思います。

そのため線間の分布容量とは違うものと私は思っています。この分布容量にエネルギーが入るのは
明らかにコイルを１周する電流の位相が少しずれるためだと思います。従って周波数が低くなれば
このコンデンサは機能しないと考えられ、電流由来の－ｄＡ/ｄt　の回転電場と明らかに異なります。
コイルの表面電荷が作り出す電気エネルギーだからです。

両者の電場の方向はコイルの面に平行かコイルそのものにそうか全く異なります。
しかし電気エネルギーであることは確かです。最終的にはコンデンサで表現できるはずです。

線間容量は分布定数で表わすべきだと私も思います。回転電場をコンデンサで表わす方法はないものでしょうか。foobar
さんご議論本当にありがとうございました。最後にコメント頂いてお礼を書いて閉め切りたいと思います。
ほんとにありがとうございました。また別の質問をします。その時はよろしくお願いいたします。

回答No.4

veryyoung

ご質問の真意が十分につかめませんが、文中「E=-gradV-dA/dt この式の２項目を無視しても良い理由が解らない」と言う所がポイントでしょうか。その式の私なりの理解を書いてみます。

「理想コイルにおいては、gradV と dA/dt は逆方向で大きさ等しく、合計正味電界のエネルギは零と見なせる」というのが私の主張です。

添付図、磁束が変化している状態のワンターンコイルです。　まず導体内部を考えましょう。完全導体内の電界は零という鉄則があります（零でなければそうなるように自由電子が移動するので）。　つまり　誘導電界 dA/dt（赤矢印）は、電荷の密度勾配（+や-の個数で密度を表現）によって生じる　静電界 gradV（青矢印）で打ち消されている事になります。　正味の電界　E=-gradV-dA/dt　が、零になるよう、導体内電荷は分布を変えます。結果、ギャップ部分に正味電界は集中します（dA/dtの周回積分電圧が得られます）。

では導体外、つまりコイル周辺の電界はどうなのか？
ある点の静電ポテンシャルに対する部分電荷からの寄与分：　V=q/(4πεr)　は、ベクトルポテンシャルに対する部分電流からの寄与分：　A=jμ/(4πr)　と同形です。電荷と電流が「共に存在する導体内」で正味の電界が零になる条件が整っていれば、電荷と電流が「共に無い外部」もまた打ち消されれる形をしていると期待されます。ただしギャップ内とその近傍に関しての打ち消しは、勿論成り立ちません。周辺空間全域で正味電界Eが零と言う訳ではありませんが、あなたが問題とされているであろう電界エネルギは、コンデンサのエネルギに対し任意に小さく出来そうです（導体径に対し、大きなループ半径などで・・・）。

外部空間での電界打ち消しの端的な例として同軸ケーブルは如何でしょう。　正弦波が伝播している時、外被に、波長を周期とする縞模様状の電荷密度の濃淡が生じるでしょう。これは外部空間に、長手方向に沿った樽形の静電界　gradV　の数珠つなぎを作る筈です。しかし同軸ケーブル外部に、そのような電界が無い事は周知です。勿論磁界も無いのですが、ベクトルポテンシャルは有限値をもち、gradV　と　dA/dtの打ち消しは導体内部だけでなく、「電荷と電流共に無い」外部においても起きていると想像されます。

回答No.2

foobar

ご質問の問題は、LC共振からLだけを取り出して、「Lが作る磁束の変化は誘導電界を生じる。この電界によって空間に蓄えられらるエネルギーは等価的にどう見えるか？」という問題になるかと思います。
誘導電界が磁束の時間変化に比例することから、等価的にコイルと並列にコンデンサをつないだものとみなせるかと思います。

同様のことはLC共振のコンデンサ側にも言えて、電極間では電束の時間変化が磁界を生じ、その磁界によるエネルギーをどう扱うか考える必要があります。
こちらは、等価的にコンデンサに直列にインダクタンスが挿入されたと見ることができるかと思います。（こちらの方が変位電流が作るインダクタンスとして、イメージしやすいかもしれません。）

いずれにせよ、これらの等価的に入るコンデンサやコイルはもとのLCと比べて十分小さいので通常は考慮せずにすんでいるかと思います。

補足

foobar
さんいつもご回答ありがとうございます。問題を正確にご理解いただいたこと感謝いたします。

＞等価的にコイルと並列にコンデンサをつないだものとみなせるかと思います。

私もそうい考えたいのですが二つの理由で困っています。

（１）電界は電荷から飛び出た電気力線で出来上がったものではないため、
並列につないだコンデンサとは考えられないと思っています。接続点で電流の和を０にするためにはコイルを流れる電流の一部がコンデンサに流れ込む必要があるからです。電界の方向はコイルの巻き線方向に向いています。コンデンサに流れ込むようには見えません。

　　（コンデンサの周囲にできる磁界のループは直列のコイルを加えるというのは電流保存則に変化を
　　与えないため解りやすいとおもいます。）

（２）コンデンサの電界Ｅの回転は０だと思います。実際はrotE=-dB/dt　ですから０ではありません。
　　　ここで悩んでいます。

しかし等価的にそうだと言われればそうかも知れませんがなぜ等価というか教えていただければありがたく
思います。

それからもうひとつ等価的に入るコンデンサのＣはどれくらいなぜ小さいと言えるのでしょうか。

スミマセンもう一度ご回答いただければ幸いです。

回答No.1

tadys

あなたの考えは正しいと思います。
振動する電場や磁場があれば電磁波が放出されて回路内のエネルギーは時間とともに減少するでしょう。
一方で、現実の回路ではコイルやコンデンサには抵抗成分があって、それによりエネルギーが失われます。
問題は、この二つのエネルギー損失の割合です。
抵抗による損失が電磁波による損失より大きければ電磁波の影響は無視できます。

無視できない場合はどうかといえば、それは共振回路というよりはアンテナとなるでしょう。
最近話題になる無線による電力の送電にも関係する話です。

補足

早速ご回答ありがとうございます。システムの説明を省略して申し訳ないと思っています。
コイルとコンデンサは共振波長より十分小さな遮蔽金属箱に入っておりＬＣ共振器の１点は
その箱にアースされているという前提で考えたいと思っています。

従って放射損失やケースの共振は抑えられます。また基本的に共振システムは無損失と考え
共振周波数で振動を継続するシステムであることを前提にしています。

この場合でも電流によるベクトルポテンシャルは存在しますからその時間変化は電界を作ります。
即ち電荷によらない電気エネルギーが箱の中に存在していると考えざるを得ません。

それなのにその動作の等価回路はコンデンサにしか電気エネルギーを蓄えないＬＣ共振回路で十分
なのでしょうかというのが私の質問です。　説明が不十分で申し訳ありませんでした。