マクローリンの定理について、

質問

マクローリンの定理について、

1/(1-X)=1+X+X^2+・・・・・・・+X^(n-1)+X^n/(1-θX)^(n+1) で、

この関係を満たすθ(0<θ<1)が存在することを証明せよとあるのですが、
どうやればよいのかよくわかりません。。。

どなた教えてください！！

回答No.1

muturajcp

F(x)=1/(1-x)-Σ_{k=0～n-1}x^k=x^n/(1-x)
G(x)=x^n
F(x)/G(x)=1/(1-x)
F'(x)=(1-x)^{-2}-Σ_{k=1～n-1}kx^{k-1}
F"(x)=2(1-x)^{-3}-Σ_{k=2～n-1}k(k-1)x^{k-2}
F^(n-1)(x)=(n-1)!(1-x)^{-n}-(n-1)!
F^(n)(x)=n!/((1-x)^{n+1})
F(0)=F'(0)=F"(0)=…=F^(n-1)(0)=0
G'(x)=nx^{n-1}
G"(x)=n(n-1)x^{n-2}
G^(n-1)(x)=n!x
G^(n)(x)=n!
G(0)=G'(0)=G"(0)=…=G^(n-1)(0)=0
F(x)/G(x)=F^(n)(x_n})/G^(n)(x_n) となる0とxの中間値 x_n　が存在することを帰納法で示す
k=1のときF(0)=G(0)=0だから
F(x)/G(x)=F'(x_1)/G'(x_1) , となる0とxの中間値x_1が存在する
ある整数k≧0,k<nに対して
F(x)/G(x)=F^(k)(x_k)/G^(k)(x_k) , となる0とxの中間値x_kが存在するとする
F^(k)(0)=G^(k)(0)=0だから
(F^(k)(x_k)-F^(k)(0))/(G^(k)(x_k)-G^(k)(0))=F^(k)(x_k)/G^(k)
=F^{k+1}(x_{k+1})/G^{k+1}(x_{k+1})　
となる0とx_kの中間値x_{k+1}が存在するから
F(x)/G(x)=F^(n)(x_n})/G^(n)(x_n)=1/((1-x_n)^{n+1})となる0とxの中間値x_nが存在する
θ=x_n/x　とすると　0<θ<1
F(x)=1/(1-x)-Σ_{k=0～n-1}x^k=x^n/((1-θx)^{n+1})
1/(1-x)=Σ_{k=0～n-1}x^k+x^n/((1-θx)^{n+1})