薄肉円筒の内圧による体積変化

質問

薄肉円筒の内圧による体積変化

長さL,内径D,肉厚Hのときに内圧をp,ぽアソン比μで作用させるときの体積変化を求める問題ですが、薄肉円筒の場合はどんな感じに作用するのかが分かりません。

軸方向にだけ作用する
εr=pR/1-2μ

になるのか軸方向と円周方向にも働いて
εr*εθ
となるのか、そもそもこの考え方自体が間違っているのか…

どうか、ご教授お願いします。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

条件が不足していますねえ。
円筒の両端は、どうなっているのですか？
多分、開放なのでしょうねえ？
要するに、無限に長い円筒の、長さＬの部分に注目するという問題と解釈しましょう。軸方向には圧力による伸びが発生しない、というケースです。

体積変化dＶは、内圧作用前の体積をＶ0、作用後の体積をＶ1とすれば、幾何学的な条件から、次式で与えられます。
dＶ＝Ｖ1－Ｖ0

Ｖ0＝π/4・Ｄ^2・Ｌ
Ｖ1＝π/4・(Ｄ＋dＤ)^2・(Ｌ＋dＬ)

dＤは、材力の公式から、両端開放の場合、
dＤ/Ｄ＝ｐＤ/(2ＨＥ)

dＬは、ポアソン比の定義から、
dＬ/Ｌ＝－ν・dＤ/Ｄ

以上を使って、dＶを求めれば、２次の微小量を省略して
dＶ/Ｖ0＝(1－ν/2)ｐＤ/(ＨＥ)
が得られます。

なお、円筒の両端の条件の代表的なものとしては、「両端開放」のほか、「両端閉じ」「平面ひずみ」の２つがあって、それぞれ導出される答が違ってきます。
あなたの場合には、もっとも簡単な「両端開放」のはずです。

両端閉じだと、軸方向に圧力ｐでdＬ2だけ引き伸ばされます。
dＬ2/Ｌ＝ｐ・π/4・Ｄ^2/(πＤＨＥ)
半径方向には、ポアソン比の分だけ縮みます。

平面ひずみだと、両端開放の式が平面応力の場合の表示式に相当するので、
平面応力→平面ひずみ
の置き換えを施してやれば、得られます。

お礼

分かりやすい説明をありがとうございます！！

がんばって、解いてみますよ。