連続確立変数の確立分布

質問

Ｘがμ＝４、σ＝２の正規分布に従うとき、
Ｐ（Ｘ＞３）とＰ（１＜Ｘ＜５）とＰ（Ｘ＜２）のそれぞれの確率のだし方が分かりません！！分かる方、教えてください！！

回答No.1

acknowledge · ベストアンサー

まず、「確率変数の標準化」を行います。

***　確率変数の標準化　***
確率変数 X が正規分布 N(μ , σ^2) に従うとき、
Z = (X - μ) / σ
とおくと、確率変数Zは正規分布 N(0 , 1) に従う。
***　以上　***

よって、X が μ ＝ 4 , σ ＝ 2 の正規分布に従うとき、
Z = (X - 4) / 2 は μ ＝ 1 , σ ＝ 0 の正規分布に従います。

ここで、
X = 3 のとき Z = -0.5
X = 1 のとき Z = -1.5
X = 5 のとき Z = 0.5
X = 2 のとき Z = -1
であるから

P(X ≧ 3) = P(Z ≧ -0.5)
P(1 ≦ X ≦ 5) = P(-1.5 ≦ Z ≦ 0.5)
P(X ≦ 2) = P(Z ≦ -1)
となります。

よって正規分布表から
P(Z ≧ 0.5) = P(Z ≧ 0 ) - P(Z ≦ 0.5) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085
P(-1.5 ≦ Z ≦ 0.5) = P(-1.5 ≦ Z ≦ 0) + P(0 ≦ Z ≦ 0.5) = 0.4332 + 0.1915 = 0.6247
P(Z ≦ -1) = P(Z ≧ 0 ) - P(Z ≦ 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587

となります。

なお、不等号は全て”≦”,”≧”に変更させていただきました。

お礼

ありがとうございます！！ですが、なぜ、≦や≧に変更されたのですか？＞や＜のままだと問題なのでしょうか？？

回答No.2

acknowledge

”＞”でなく”≧”なのは、正規分布表の数字がP(0 ≦ Z ≦ z0)であるからです。例を挙げればP(Z ≦ 0.5) = 0.1915であり、P(Z < 0.5) ≠ 0.1915ということです。

正規分布図を見ても視覚的に分かるとおり、この0.1915ってのは面積として求められた数値ですから0からジャスト0.5までの面積であり0から0.4999999999...までの面積ではありません。余計分かりにくいかな？

ということで、細かいようですが、生のデータが離散データだとしても、正規分布表を使うときは連続データ変数として扱いますから不等号は”＞”でなく”≧”になります。dizzy77さんの質問されている問題も元は”＞”でなく”≧”ではありませんでしたか？

お礼

ご説明ありがとうございます！
なんとなく意味はわかったつもりですが・・問題のほうはいくら見直しても、”＞”のほうです。本がまちがっているんでしょうね(^・^)