ベッセル関数とノイマン関数の部分で微分方程式の形が分かると、解がすぐに

質問

ベッセル関数とノイマン関数の部分で微分方程式の形が分かると、解がすぐに出るものがあるそうです。

添付の式１はワイリーの「工業数学　上」p361にある定理1の系1というものらしいです。
これに対して式２が求めたいもので、式１と比べて係数を解決するそうですが、λの二乗の部分から
a,b,sの求め方がいまいち理解できません。式３からどう解くのかのヒントをお願いいたします。

回答No.3

noname#152421 · ベストアンサー

その本は手元に無いので推測で書きます。

まず、（３）は仮定というよりも、

λ^2=(λ^2)(x^0)+0(x^(1-2))

と変形できると考えれば（１）が使えるという意味ではないのでしょうか？

（２）の1行目の方程式を解く場合、上記に注意して、質問文に無い欠落情報をANo.2引用文で補い、（１）を利用すると、（２）の2行目に似た形になります。

ただ、b=0になって、νは0でなく1になるように見えます。

お礼

>λ^2=(λ^2)(x^0)+0(x^(1-2)

こちらの計算で確かに解が得られました。
(s =0, r= 1, a = λ^2, b= 0から計算できました）

νの計算ですが、
ν=sqrt((1-r)^2 - 4b) / (2 - r + s) = sqrt((1 - 1)^2 - 4 * 0) / (2 - 1 + 0) = 0
となりました。

回答No.2

HANANOKEIJ

工業数学上３６１ページ
系１
もし（１－ｒ）＾２≧４ｂであり、a≠０であって、またｓ＞ｒ－２あるいはｂ＝０のいずれかであれば、そのとき方程式
（ｘ＾ｒｙ’）’＋（ax^s+bx^(r-2)）=0
の完全解は、
y=x^α[c1Jν（λｘ＾γ）＋c2Yν（λｘ＾γ）]
である。ただし、
α＝（１－ｒ）/2 , γ＝（２－ｒ＋ｓ）/2 ,　λ＝２√｜a｜/(2-r+s) ,　ν＝√((1-r)^2-4b)/(2-r+s)
とする。もしa＜０であれば、JνとYνはそれぞれIνとKνにより置き換えられる。またνが整数でないとき、もし望めば、YνとKνはJ(-ν)I(-ν)によって置き換えることができる。

３６０ページ定理１

図書館で、ワイリー著「工業数学」上の３６０、３６１ページをコピーするか、「工業数学」を入手してください。
なぜか、手元に数冊ころがっています。

お礼

補足ありがとうございます。

記載の仕方が誤解をまねくようでしたが、工業数学は購入しておりました。
工業数学を勉強していく中で分からない部分について質問させていただきました。

ありがとうございました。

回答No.1

spring135

(1)と(2)を比較すればr=1
(3)はこれを用いたにすぎない。
質問の説明が不足です。
r,sとα、γ、νの関係を示してください。

お礼

ありがとうございました。