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数学の問題です!教えてください!

数学の問題です!教えてください! 曲線y=x^2-xと2直線y=mx ,y=nx とで囲まれる部分の面積が37/6となるように整数m,nを定めよ。ただし、m>n>0とする。 積分というものがいまいちわからないのでどうか解説お願いします!!

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囲まれる部分の面積Sをまず積分で求めます。 そのためには、曲線と2直線をグラフに書くようにしましょう。 グラフより, S =∫{0→(n+1)}(mx-nx)dx+∫{(n+1)→(m+1)}{mx-(x^2-x)}dx =(m-n)(n+1)^2/2+(m+1)/2*{(m+1)^2-(n+1)^2}-{(m+1)^2-(n+1)^3}/3 =(m-n)(n+1)^2/2+(m+1)^3/6+(n+1)^3/3-(m+1)(n+1)^2/2 ={(m+1)^3-(n+1)^3}/6 これが37/6に等しいのだから, (m+1)^3-(n+1)^3=37 M=m+1、N=n+1とおくと、それらは整数(但しM>N>1)で、 左辺=M^3-N^3=(M-N)(M^2+MN+N^2) 右辺=1*37 (素数37は素数) したがって、 M-N=1、M^2+MN+N^2=37 これを解いて,M=4,N=3。即ちm=3,n=2

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