円の射影は楕円になることの証明方法を教えてください。別の言い方をすると

質問

円の射影は楕円になることの証明方法を教えてください。別の言い方をすると、円の透視図が楕円になる理由を知りたいです。射影に関する説明で「円の射影は楕円になる」と当たり前のように書いてあったりしますが、きちんとした証明がなかなか見当たりません。関連するWebページを教えていただくだけでも結構です。

回答No.4

noname#152421 · ベストアンサー

もし位相と線形代数を若干ご存知ならばこんな感じでいかがでしょう。

3次元のユークリッド空間の中の円は、2次曲面（球）と、ある平面との共通部分になります。特に、2次曲面は2次関数の零点の集合として表されます。

射影は一次写像で表され、2次曲面の像は（一般には別の）2次関数の零点の集合になり、平面の像は（一般には別の）部分空間（平面とか直線など）になります。

射影は連続、球はコンパクトなので、その像もコンパクト。

その射影のrankが2なら像は2次曲線になって、コンパクトなものというと、楕円になります。それと部分空間との共通部分というと、退化していなければ楕円に限られます。

お礼

回答ありがとうございます。
現時点では「コンパクト」の定義をきちんと理解できていないため、「2次曲線のコンパクトなものというと楕円」という点がわからないのですが、私の不勉強のためと思いますので、位相について勉強してみたいと思います。

回答No.3

Tacosan

ちょー手抜きしていうと
「斜めから見るのと 1つの軸の方向を一定の割合で縮小するのとは同じこと」
です. 普通に入手できる, 一定間隔で目盛のついた定規を斜めから見てみてください. あたかも, 目盛が圧縮されたように見えると思いますよ.

補足

ありがとうございます。
せっかく回答をしていただいて大変恐縮ですが、感覚的に楕円になるというのはわかっております。「きちんとした証明」はどこかにないだろうか、という観点から質問させていただきました。
もう少しの間、引き続き回答をお待ちしたいと思います。

回答No.2

Ishiwara

楕円の定義によります。
(1)円を一方向に一定の率で引き伸ばし（押し縮め）たもの
(2)２定点からの距離の和が一定の図形
(3)（x/a）^2+(y/b)^2=1で表される図形
などのうち、どれを使ってもよいなら、(1)で超簡単です。
(2)(3)でなければダメなら、(1)と(2)、または(1)と(3)の関係を証明する、ということになります。

補足

回答ありがとうございます。
(1)で結構ですので、ご説明いただければ幸いです。

回答No.1

Cupper

いや…特殊な例をあげれば楕円にはならないんですけど…
真横から投射したら…線分になります。

てか、質問者さんは楕円・線分以外にはどんな図形になるとお考えですか？
そこから考えると簡単かもしれません。

ちなみに正円は楕円の一つです。

さて、ヒントも出したことだし、そろそろ何か閃いていませんか。

補足

さっそくの回答ありがとうございます。

>真横から投射したら…線分になります。
はい。このようなことは理解できています。（線分も楕円の特殊な例と言えると思います）

>てか、質問者さんは楕円・線分以外にはどんな図形になるとお考えですか？
楕円・線分以外にはならないと思っています。

「思っている」だけでは説明にならないので、数学的な証明をご存知の方がいらっしゃればと思って質問いたしました。

自分で考えてみた証明（？）です。
・2次の多項式曲線は、楕円・放物線・双曲線しかない。
・2次の多項式の射影は2次の多項式で表される。
・円は2次の多項式曲線で閉曲線。
・以上より、円は楕円に射影される。
これで十分な証明と言えるか疑問に思っています。