距離空間の問題です。

質問

距離空間の問題です。

(X,d)：距離空間
Bd1(p;r) = {x∈X｜d(x,p)＜r} (←開球体？)
Bd2(p;r) = {x∈X｜d(x,p)≦r} (←閉球体？)
としたとき、Bd1(p;r)とBd2(p;r)の境界は共に
{x∈X｜d(x,p)＝r}
になることを示せ

という問題です。解く方針としては
A = Bd1(p;r)とすると
X = Ai(Aの内部)∪Ae(Aの外部)∪∂A(Aの境界)
からAiとAeを求めて、∂Aを導く
Aは開集合より、Ai＝A＝{x∈X｜d(x,p)＜r}...(1)
X-A＝{x∈X｜d(x,p)≧r}より
Ae＝(X-A)i＝・・・＝{x∈X｜d(x,p)＞r}...(2)
(1)(2)より
∂A＝{x∈X｜d(x,p)＝r}

という感じで示そうとしたんですが
(2)の・・・の部分がうまくできません
どのように言えばいいんでしょうか？

また、閉球体の方の示し方もお願いします

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞ x∈Xが「どんなr＞0に対しても、Bd(x;r)はAに含まれない、かつ、Bd(x;r)∩A≠φ」
それでは、
{x∈X｜d(x,p)＝r｝
という集合が、Bd1(p;r)、Bd2(p;r) の境界であることを、この定義にしたがって確かめればよいのでは。
・ {x∈X｜d(x,p)＝r｝上の点が全て境界の定義を満たす
・ {x∈X｜d(x,p)＝r｝上にない点全ては、境界の定義を満たさない
という２つことを確かめればよいです。

お礼

何とか解けました
ありがとうございます

回答No.1

rabbit_cat

そもそも、質問者さんの教科書での境界の定義は何ですか？
普通は、
∂A(Aの境界) = Ａの閉包 － Ａの内部
と定義するのですかね。だとすれば、この定義通りに計算すればいいと思いますが。
あるいは、
∂A(Aの境界) = Ａの閉包 ∩ （Ｘ－Ａ）の閉包
という定義もありえますが、それなら、その定義通りに計算すればいいと思います。

補足

回答ありがとうございます

使っている教材では、
x∈Xが「どんなr＞0に対しても、Bd(x;r)はAに含まれない、かつ、Bd(x;r)∩A≠φ」
をみたすとき、xをAの境界点といい
Aの境界点全体の集合を∂A(Aの境界)
と定義されています。