数学について教えてください。

質問

数学について教えてください。
座標に点Ａ(-2,4)、点Ｂ(3,8)があります。
Ｘ線上に点ＰをＡＰ＋ＢＰが最小になるようにとる。

この場合のＰのＸ座標と解き方を教えてください。

回答No.3

jamf0421

x軸上の点はP(x,0)と置けます。
AP+BP=L={(x+2)^2+16}^(1/2)+{(x-3)^2+64}^(1/2)
dL/dx=2*(x+2)/[2*{(x+2)^2+16}^(1/2)]+2*(x-3)/[2*{(x-3)^2+64}^(1/2)]
通分して分子=0とおけば、Lが極値をとるxが求まります。
(x+2){(x-3)^2+64}^(1/2)+(x-3){(x+2)^2+16}^(1/2)=0
(x+2){(x-3)^2+64}^(1/2)=-(x-3){(x+2)^2+16}^(1/2)
これの両辺を-2≦x≦3の条件で2乗します。
(x^2+4x+4)*(x^2-6x+73)=(x^2-6x+9)(x^2+4x+20)
整理して
3x^2+22x+7=0
x=-1/3またはx=-7
xの範囲の条件からx=-1/3が極値を与えます。これが極小かどうかですが
(x+2)^2+16=Δ、(x-3)^2+64=Δ'とおいて
d^2L/dx^2=(√Δ-(x+2)^2/√Δ)/Δ+(√Δ'-(x-3)^2/√Δ')/Δ'
=(Δ-(x+2)^2)/Δ^(3/2)+(Δ'-(x-3)^2)/Δ'^(3/2)
=16/Δ^(3/2)+64/Δ'^(3/2)>0
ということで、Lは下に凸の関数ですのでx=-1/3で極小値となります。すなわち(-1/3, 0)がP点です。

回答No.2

edomin7777

点Bをx軸に対称な点B'(3,-8)をとります。
このとき、点Aと点B'を結ぶ線がx軸と交わる点が点Pになります。

回答No.1

spring135

x軸に関する点Ｂ(3,8)の写像C(3,-8)をとり、直線ACとｘ軸との交点が求めるＡＰ＋ＢＰが最小になる点Pです。