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最大値を持たないことの証明
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任意の正の実数には、それよりも大きい自然数が存在します。 これは、実数が実数であるための基本的な性質のひとつであり、 「アルキメデスの公理」と呼ばれます。 また、 自然数全体の集合の任意の部分集合には、最小値が存在します。 こっちは、自然数が自然数であるための基本的な性質のひとつであり、 「数学的帰納法」と呼ばれます。 これらを既知とすると、質問の定理が証明できます。 A の任意の元 q について、アルキメデスの公理より、 n > 1 / { (√2) - q } であるような自然数 n が存在します。 この n を使って、自然数全体の集合 N の部分集合 B = { k∈N | k/n > (√2) - q } を考えると、 数学的帰納法により、B にも最小値が存在します。 その最小値を m とします。 x = q + (m-1)/n と置くと、 x は、q < x < √2 を満たす有理数となっています。 任意の q に対して、このような x が存在するのですから、 A に最大値が存在すると仮定すれば、矛盾します。
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- 178-tall
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これでいけそうです。。 ↓ http://ysserve.int-univ.com/Lecture/NumberTheory2/node17.html >有理数の稠密性 任意の x∈Q, 0 < x に対して, y∈Q, 0 < y が存在して, 0 < y < x
- t932
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背理法を使えばよいのではないでしょうか かりに最大値が存在したとき、その有理数を xとすると これにニュートン法を１回使用して y= x-（x*x－2）/(2*x)とすると yも有理数ですから あとは√2-x>√2-y>0を示せばよいわけです。 x>1は自明ですの後半も簡単ですよ。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>A＝｛a∈Q｜a＜√2｝ >のとき，Aは最大値を持たないことを証明せよという問題なのですが，どのように証明したら良いでしょうか？ >Qは有理数全体の集合です． [命題] 任意の ao∈A について、 0 < bo < (√2 - ao) を満たす有理数 bo が存在する。 これが証明できれば、原題を証明できそうですね。
- kabaokaba
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流行なのか，この問題(see No.5831248) 補題として， 「任意の実数に収束する単調増加な有理数列が存在する」 って，これまた最近のここの質問にあったものを使えば ほとんど自明．
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