絶対値 正の数・負の数

質問

絶対値について質問です。
教科書には、「数直線上で、0からある数までの距離を、その数の絶対値といいます。」と書いてありました。また、ほかの絶対値についての質問の回答には、「距離は必ず0か正になる」と書いてありました。

では、「ある地点0から2km東の地点を+2km、3km西の地点を-3kmで表す」とき、距離というのはどのようになるのでしょうか？僕の感覚からすると、「西に3km」つまり「東に-3km」というのも「距離」だと思うのですが。つまり、|-3|=-3になりませんか？　このような疑問が出てくるということは距離についての定義がうまく理解できていないことが原因かと思いますが、回答よろしくお願いします。

また、中学校で習う、反対の性質をあらわす言葉、例えば、
「4個多い」を「-4個少ない」
「6cm短い」を「-6cm長い」
と、普通の人が聞いたら、は？と思うような言葉を習うことに意味はあるのでしょうか。できればこちらにも回答お願いします。

回答No.6

felicior · ベストアンサー

>> 僕の感覚からすると、「西に3km」つまり「東に-3km」というのも「距離」だと思うのですが。

そうでしょうか。「どのくらいの距離？」と聞かれて方角まで答える人って少ないと思いますが。
日常語としての「距離」は「遠い/近い」の程度のみを表す概念でしょう。
例えば「西に3km」と「東に3km」は同じ遠さであって、距離が違うと言う人はいないのでは。
家から学校までの距離と学校から家までの距離は、方角が逆になるからといって普通は
違う距離とは考えません。

>> つまり、|-3|=-3になりませんか？このような疑問が出てくるということは距離についての
>> 定義がうまく理解できていないことが原因かと思いますが
他の方もおっしゃるようにこの考え方は逆で、先ほどの日常語としての「距離」と感覚が
なるべく一致するように数学語としても「距離」を定義したいが、そのためにはどういう
計算をすればいいか、と考えて生まれたのが「絶対値」という計算なのです。
正のときはそのまま、負のときは符号を変えるという計算をすればよい、と気付いたわけです。

>> 「4個多い」を「-4個少ない」
>> 「6cm短い」を「-6cm長い」
>> と、普通の人が聞いたら、は？と思うような言葉を習うことに意味はあるのでしょうか。

あります。これを学ばないと負の数を使うメリットがわかりません。
例えば、「現在父が50歳、子が20歳。父の年齢が子の年齢の4倍になるのはいつか」
という問題で、負の数を知らない人は答えが過去か未来かで場合分けをし、それぞれを正の数の
範囲で解く必要がでてきます。
x年後(x≧0)の場合、解なし。x年前(x≧0)の場合、解x＝10
です。しかし負の数を知っていればとりあえず未来と仮定してx年後とおき、
正負の範囲で解けば場合分けの手間が省けるからです。このときx＝-10という負の解の解釈が
必要になりますね。「-10年後」という言葉を日常使えという意味ではなく、これが解釈
できないと負の数の存在意義がないと思われませんか？

お礼

わかりやすい例題ありがとうございます。
確かにおっしゃる通りです。負の数での表現を知っていれば、－１０年後という言葉の解釈もできますね。
疑問解消できました。ありがとうございました。

補足

「-10年後」、「-4個少ない」などの表現について考えてみたのですが、これらを負の数を使わない表現に直すときの考え方は、
「-」は反対の性質を持つ、だから「-4個少ない」というのは、「4個少ないの反対」、つまり「4個多い」なる。
という考え方であってますか？

また、逆に負の数を使う表現に直すとき（多いを少ないにする）は、
「少ない」は「多い」の反対、だから反対の性質を持つ「-」を使えば、「4個多い」は「-4個少ない」になる。
という考え方であってますか？
2つめがあまり上手く説明できてない気がしますが。

すみませんが、またよろしくお願いします。

回答No.7

felicior

>> 「-10年後」、「-4個少ない」などの表現について考えてみたのですが、
(中略)
>> という考え方であってますか？

問題ないと思います。片方がプラスならもう片方はマイナスになる、ただそれだけです。
対応結果さえ合っていれば大丈夫ですので、覚えやすいように考えてください。

回答No.5

alice_44

その説明よりも前に「距離」という言葉の定義が載っていない
のだとしたら、その教科書はテキトー過ぎます。
未定義の言葉を使って他の言葉を説明しても、用語を定義した
ことにはなりません。基本がなってませんね。

x の絶対値 |x| の定義は、
　　x ≧ 0 のとき、|x| = x、
　　x ＜ 0 のとき、|x| = -x
とするのが簡単明瞭かと思います。

そう定義した上で、教科書の説明を読むと、
逆に「絶対値」を使って「距離」を定義することができます。

回答No.4

funoe

>距離についての定義がうまく理解できていないことが原因かと・・・

という自己分析が素晴らしいので、思わず回答しようと思いました。
概念が良く理解できないとき、「定義」を確認しようとするその姿勢が素晴らしい。

中高生の数学の世界では、2点間の距離といえば、
平面上の2点（x0,y0)と(x1,y1)の距離ｄは、
ｄ＝√（（x0-x1)^2＋（y0-y1)^2　）　で定義(！)されます。
この定義から容易に分かるように、マイナスの値はとりません。
三平方の定理を習っていればこの「定義」は理解しやすいでしょう。

なお、大学以降ではもうすこし一般的に「距離」という概念は定義されていて、
・２つの点によって決まる値（＝関数）で、
・非負の値をとり、
・「ｘとｘの距離」は０であり
・「ｘとｙの距離」は、「ｙとｘの距離」と等しく、
・「ｘとｙの距離」と「ｙとｚの距離」の和は、「ｘとｚの距離」より大きい。
なんてルールを満たす関数が定義されている集合を距離空間と呼びます。

このうち、「「ｘとｙの距離」は、「ｙとｘの距離」と等しく」に注目すれば
いまのあなたの疑問が解消するかもしれません。
（ちなみに、「絶対値」は、原点０と該当する点(値)との「距離」です）

>「4個多い」を「-4個少ない」・・・
実生活の現象・事象と、数学の世界の表現をつなぐときに便利な
概念なので、「習うことに意味があります。」

例えば、
「学校から西に５ｋｍの地点にいます。東に３ｋｍ進んだ場所は？」
なら、５－３＝２　と引き算の計算をして「学校から西に２ｋｍの地点」と回答できます。
このとき、
「実生活の事象」を「数学の世界の言葉に翻訳」して
「数学の世界で計算して」、「数学の世界で出てきた結果」を
「実生活の表現」に再翻訳して答えに到着します。

では、
「学校から西に５ｋｍの地点にいます。東に８ｋｍ進んだ場所は？」
のとき、５－８＝－３　と同じロジックで処理したとき、「－３」を実生活の表現に
翻訳する必要がありますよね。
このような必要があるため、「数学の世界の言葉」と「実生活の表現」との翻訳は
幅広くできた方が好都合なので、上述のような表現を学習するわけですね。
ご理解いただければ幸いです。

お礼

>「実生活の事象」を「数学の世界の言葉に翻訳」して
「数学の世界で計算して」、「数学の世界で出てきた結果」を
「実生活の表現」に再翻訳して答えに到着します。

なるほど、確かにこう考えると、－６cm長いという表現を習う意味もわかります。
ありがとうございました。

回答No.3

Hirorin_20

三省堂・大辞林では
【距離】
(1)二つの物・場所などの空間的な離れ方の大きさ。へだたり。
(2)抽象的な事物の間に感じられるへだたり。
(3)人と人との間に感じられる心理的なへだたり。

質問者さんが出された距離の使い方は１にあたります。これには方向はありません。

次に反対の性質を表す言葉での例えですが、これはマイナスの数の説明のために例示しているだけです。別にその言葉を教えているのではありません。

お礼

距離という言葉について調べるべきでした。
ありがとうございます。

回答No.2

FEX2053

数学の「言葉」は「そう定義したからそう表現する」もので、日本語としても意味を問うものじゃないです。定義として「距離」を数直線上の２点間の間隔としたのですから、マイナスはあり得ないですし、西とか東とかという感覚とは全く関係なく、「０点より２」「０点より３」になります（数学上でkmという距離を付けるかどうかは直接この議論とは関係ないです）。

また、「４個多い」を「多い」と言う言葉を使わず「少ない」という言葉だけで表現するために数直線上で数を表現する、と定義した場合、「－４個少ない」で正しく、「４個多い」と言っては間違いです（多いという言葉が使えないため）。

数学というのは「ある決まった定義の中で、事象をどのように表現するか」を考える学問です（ですので数学上は４次元５次元が簡単に定義出来て頻繁に使うんです）。実際の生活とは切り離した世界で物を考えているんだ、という理解を先ずして下さい。

ただ、「それが何の役に立つ」と言われれば、「何の役にも立たない」が答えですから、別に数学なんて知らなくても実生活には不便なありません（算数は必要ですが、算数の世界は実生活とはあまりかけ離れません。敢えて言えば「分数の割り算」が実生活から離れた例の一つです）。居直って数学は常時ゼロ点、というのも「実生活的には」アリな判断ですよ。

回答No.1

noname#142909

絶対値の場合方向の概念が無いと思って下さい
西にとか東にとか関係なく原点からの距離
故にマイナスは無いのです