平面とベクトルのなす角度の求め方

質問

3点A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3)で決まる平面と，ベクトルv(v1, v2, v3)のなす角度は，どのようにして求めればよいでしょうか？
参考ＵＲＬのみでもよいです．

よろしくお願いします．

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

平面の法線ベクトルと当該ベクトルとのなす角度ということであれば、

3点を通る平面の方程式を求め、それを
x+py+qz+s=0　　　（※）
とおくと、法線ベクトルn=(1,p,q)なので、
当該ベクトルvとのなす角度θは、
cosθ=n・v／|n||v|　　※分子はベクトル同士の内積
で求まります。

（※）は、vector(AB)、vector(AC)のいずれとも直交するよう法線
ベクトルn=(1,p,q)の成分を決めればよく、そのためには、
　内積　vector(AB)・n=0
　内積　vector(AC)・n=0
からp,qの連立方程式を解けばよいです。

お礼

ありがとうございました．
なんとか，法線ベクトルを求めるところまではできました．
あと，角度を求めるときは，arccosを使えばよいので，なんとかなりました．

回答No.2

Tacosan

A, B, C で決まる平面 H の法線ベクトル n と v のなす角度が求まれば, 「H と v のなす角度」も求まりますね. この 2つは余角の関係にあります.
n は #1 のように決めればいい... 厳密には #1 の置き方ではだめで, もっと一般的に px + qy + rz + s = 0 としないといけません. あるいは n = AB×AC でも OK.

お礼

面の法線ベクトルをn = AB × ACで求めることができました．

あと，角度を求めるだけですので，何とかなりました．

ありがとうございました．