どうしても解けない簡単な問題があります

質問

白い玉と赤い玉が５０個ずつあります。同じ箱が二つあります。
箱に１００個の玉を入れます。任意の入れ方が許されます。
その後で、無作為に箱を一つ選びます。無作為に選んだ箱の中から玉を一つ抜きます。抜いた玉が白である確率が最大となる、箱への玉の入れ方を考えよ　という問題です。

問題自体は小学生にも分かるくらい簡単なのですが、答えが分かりません。頭のいいかた、おしえてください。

回答No.6

Pewerd-Gravity · ベストアンサー

No.3、No.5の方の回答が正解ではないでしょうか。

(1)白玉が１つ入った箱　と、(2)白玉49個と赤玉50個が入った箱
の二つが用意される事になります。

第一段階の箱の選択で(1)の箱を選択出来る数が1/2の確率
もし選択出きず(2)を選んだとしても　49/50　の確率の抽出機会が残ります。

お礼

なるほど、その説明の仕方ならどうやら正しいようですね。
納得できました。
皆様、ありがとうございました。

回答No.9

高梨 竜二（@mychingoo）

ほとんどの人が正解なさっているようですが、一つ中学生クラスの解答を。
　A、B二つの箱の中から白い玉を取り出す確率をそれぞれPA、PBとすると白い玉を取り出す確率は全体でP=（１／２）（PA＋PB）ですよね？
　そこで直観的かも知れませんが、次の二つの場合について調べてみます。
　(1)一方の箱（Aとしましょう）にすべて玉を入れる
　　この場合PB＝０ですからP=（１／２）×（５０／１００）＝１／４
　(2)半分ずつ入れる
　　この場合はAに入れる白い玉の数をｘとするとPA＝ｘ／５０　PB=（５０－ｘ）／５０となりｘの値にかかわらずPA＋PB＝１　したがってP＝１／２です
　(1)と(2)より、どうやら一方の箱に白い玉だけ入れた方が得策のようです。なぜならPA＝１またはPB=１　PA＞０　PB＞０したがってP＞１／２となるからです。
　さて問題は何個入れるかです。
　Aにｘ個入れるとするとPB=（５０－ｘ）／（１００－ｘ）　これが最大になるようにxの値を決めればよいのです。
　少し変形するとPB＝（５０－ｘ）／（５０＋５０－ｘ）　分母分子を５０－ｘで割ると分子＝１　分母＝５０／（５０－ｘ）＋１　分母が最少となるのは５０－ｘが最大の時　すなわちｘ＝１の時です。
　ちなみにこの時P=０．７４７４７４・・・・・（循環小数です）
　もどかしい解き方ですみません。失礼しました。

お礼

皆様、解答ありがとうございました。

回答No.8

de-tteiu

白の玉をt、(50-t)　t≦25に分けるとします
さらに、t個入れた方に赤玉をx個入れるとすると

求める確率は
(1/2)*t/(t+x)＋(1/2)*(50-t)/(100-t-x)
になります

まず、tを固定して、xを動かして最大の確率を求めたのち（微分を使って、多分x=０が最大になるはず）、そのxの条件のままtを動かして最大になるｔを求めれば
（1,0）、（49、50）
が最大になるはずなんですが

検算はお任せします

回答No.7

bgm38489

一つの箱に、白い玉を一つ入れて、残りをもう一方に入れたら？

回答No.5

eos5qd

この問題はこういう意味でしょうか？
　(1)赤玉50個，白玉50個が目の前にある．
　(2)同じ形状の空箱が2つある．
　(3)全部で100個の玉を，とにかく2つの箱に入れる．50個ずつ
　　入れても良いし，たとえば30個と70個に分けてもよい．ただし
　　どちらの箱にも最低1個は玉を入れる．
　(4)2つの箱に玉が入った段階で，玉を入れたのと別の人（どの箱に
　　何色が何個入っているかは知らない）が，任意の1つの箱を選び，
　　なおかつその箱から玉を1個取り出す．
以上の条件で，(4)の段階で玉を取り出す人が白を取り出す確率を
最も高くするような玉の配分を考えよ．

上記のような条件であれば，自分は片方に白1個だけを入れ，残り
99個をもう一つの箱に入れる，ではないかと思います．

箱Aに白1個，箱Bに白49個と赤50個が入っていれば，白を取り出す
確率は
　(1/2)×1＋(1/2)×(49/99)≒0.747
になるのではないかと．

お礼

私もそう思いました。ただ、それでは直感的すぎます。それが最大がどうか示されていません。他の全ての場合よりも確率が大きいとどうして言えるのでしょうか？

問題の意味はあっています。

補足

すいません、問題の意味は違いました。
＞＞ただしどちらの箱にも最低1個は玉を入れる．

は不要です。

回答No.4

ml_4649

どうやって入れても確率は同じですから、どういう回答を期待しているのでしょうかネェ？
どうやっても同じ？　それともそんな入れ方はない？

お礼

証明をお願いします。

回答No.3

wild_kit

きちんと検討したわけではありませんが、片方の箱に白い玉を1つだけ入れ、もう片方に残りの玉を全部入れます。
白玉のみの箱は確率１、もう片方は４９／９９です。
平均すると７４／９９です。

お礼

それが最大だとの証明をお願いします。
言いたいことは分かりますが、それでは他の場合が示されておりません。

回答No.2

aokii

同じ箱が二つで無作為に箱を一つ選ぶなら、どんな入れ方をしても、抜いた玉が白である確率は同じ５０％です。箱にも玉にも関係有りません。もともと箱は無くても同じです。つまり、一つの箱に何も入れなくても、一つの箱に全て入れても、赤だけ入れても白だけ入れても１００個の中から一個を選ぶのですから。二つの箱を接着剤でくっつけて考えて見てください。

お礼

もうすこし厳密な証明をお願いします。
私もそう考えましたが、それが最大であるとの証明ができませんでした。

回答No.1

noname#108260

問題の意味がよく分からないのですが、
玉は50個ずつで計100個、箱は2つで、どれに100個入れるのでしょうか？
100個を二つの箱に分配するのですか？
国語の時点で分からないのですが私の頭が悪いのでしょうか。

お礼

書いた通りです。
入れ方は自由です。
どんな入れ方も文字通り許されています。
片方の箱に０個だろうが、１００個だろうが構いません。