複素積分

質問

この問題が解けません。どうか教えてください。

∫(0→∞)　(x^2 + a^2)/(x^4 + a^4) dx (a > 0)

回答No.3

alice_44

因みに、この積分は、「複素積分」としては
値が確定しない。
この被積分関数は、実関数としては正則だが、
複素関数としては 4 個の極を持ち、
従って、複素積分は、経路に依存する。
(0→∞) だけでは、複素積分路を指定
したことにはならない。
もし、(0→∞) が暗に実軸に沿う経路を
意味しているとすれば、
実軸上で、実数値をとる関数を積分して
いるのだから、「実積分」以外の何でもない。

回答No.2

alice_44

「実績分」でしょ？ 初等的に行こうよ。

まづ、分母を因数分解する。
x^4 + a^4 = (x^2 + a^2)^2 - 2(x^2)(a^2) = (x^2 + a^2 + (√2)ax)(x^2 + a^2 - (√2)ax).
実係数ではコレ以上分解できないことは、判別式を計算してみれば判る。

部分分数分解は、これを使って、
(x^2 + a^2)/(x^4 + a^4)
=　A(x^2 + (√2)ax + a^2)’/(x^2 + (√2)ax + a^2)　+　B/(x^2 + (√2)ax + a^2)
　+C(x^2 + (√2)ax + a^2)’/(x^2 - (√2)ax + a^2)　+　D/(x^2 - (√2)ax + a^2).
と置くのだけれど、毎度のように真面目に係数決定をしなくても、
A = C = 0,　B = D = 1/2 であることは、この式の場合、ヤマカンで解る。
もちろん、通分して係数を比較しても ok。

以上により、
与式 =　(1/2) ∫[0→∞] dx/(x^2 + (√2)ax + a^2)　+　(1/2) ∫[0→∞] dx/(x^2 - (√2)ax + a^2).
と変形できたことになる。

右辺の二つの積分は、分母を平方完成して ∫ dt/(t^2 + 1) に帰着させるのが定石。
u = (x + a/√2)/(a/√2),　v = (x - a/√2)/(a/√2) で置換積分して、
与式 =　((1/2)/(a/√2)) ∫[1→∞] du/(u^2 + 1)　+　((1/2)/(a/√2)) ∫[-1→∞] dv/(v^2 + 1).

後は、∫ dt/(t^2 + 1) = arctan t を使えば、
与式 =　((√2)/(2a)) ((π/2) - (π/4))　+　((√2)/(2a)) ((π/2) - (-π/4))　= π(√2)/(2a).
∫ dt/(t^2 + 1) を既知としたくなければ、t = tanθ で置換積分すればよい。

回答No.1

info22_

∫(0→∞)(x^2+a^2)/(x^4+a^4) dx
=(1/2)∫(-∞→∞)(x^2+a^2)/(x^4+a^4) dx
=(1/2)∫[C] (z^2+a^2)/(z^4+a^4) dz
(C=C1+C2,C1:-∞→0→∞、C2:Re^(iθ)(θ=0～π,R→∞))
積分閉路内の一位の特異点z=(±1+i)/√2における留数を求めて、
留数定理を適用
=(1/2)2πi{-i√2/4-i√2/4}/a=π(√2)/(2a)