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三角関数の最小値

0=<θ<2π のとき、 f(θ)=cosθ-3sinθ-sinθcosθ/2 の最小値をもとめよ。 微分して、極値を求めようと思いましたが、極値になる θを特定できません。当然グラフの増減も決定できません。 グラフ作成ソフトでグラフを書くと、極値は存在するようです。 そして、最小値になるようです。 計算で最小値を求めるには、どうしたらよいでしょうか。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.6
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

もう1つ間違いがありました。 × A = √( 5*C - 4 -15/C )、B = √( -5*C - 8 +15/C + 12/A )、A = ( 4 + √43 )^(1/3) --- (1) ○ A = √( 5*C - 4 -15/C )、B = √( -5*C - 8 +15/C + 12/A )、C = ( 4 + √43 )^(1/3) --- (1)

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質問者からのお礼

なんども、ありがとうございます。 tanθ/2=tとおいて、考えるのが、取り組みやすいのか。 いずれにしろ、計算は大変なようであるが。 なかなか難しいということが、分かっただけでもよかったです。

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  • 回答No.5
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

間違いがありました。 × で、最小と最大値は    -( x^4 - *x^3 - 7*x 1 )/( 1 + x^2 )^2 ○ で、最小と最大値は    -( x^4 - 5*x^3 - 7*x 1 )/( 1 + x^2 )^2

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  • 回答No.4
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

解析解は見つかりました。解だけ先に書くと f(θ) が最小と最大となる θ の値は    θ = 2*arctan{ ( 1 + A ± B )/5 } (-符号のとき最小)    A = √( 5*C - 4 -15/C )、B = √( -5*C - 8 +15/C + 12/A )、A = ( 4 + √43 )^(1/3) --- (1) で、最小と最大値は    -( x^4 - *x^3 - 7*x 1 )/( 1 + x^2 )^2    x = ( 1 + A ± B )/5 になります。小数で表すと    θ = 1.743182904 ( x = 1.189159531 )のとき、最小値 = -3.042572824    θ = 5.138432790 ( x = -0.6443261950 )のとき、最大値 = 3.333259202 【解法】    f(θ) = cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2 --- (2) において、tan(θ/2) = x とおくと(これは cos(θ) と sin(θ) を含む関数の積分でよく使われる置換です)    sin(θ) = 2*x/( 1 + x^2)、cos(θ) = ( 1 - x^2)/( 1 + x^2) となるので f(θ) は    F(x) = -( x^4 - 5*x^3 - 7*x + 1 )/( 1 + x^2 )^2 --- (3) となります(関数形が違うので f ( ) でなく F( ) としています)。これを x について微分して整理すると    F'(x) = ( 5*x^4 - 4*x^3 + 6*x^2 - 4*x - 7 )/( 1 + x^2 )^3 なので、最大・最小点を与える x は F'(x) = 0 の解です。この解は、数式処理ソフトに頼ると    x = ( 1 + A ± B )/5 になります(A, B に意味は(1)と同じ)。このx の値を直接式(3)に代入すれば f(θ) の最大・最小値になります。最大・最小点での θ の値は、tan(θ/2) = x から    θ/2 = arctan(x) (arctan は tan の逆関数)    → θ = 2*arctan(x) = 2*arctan{ ( 1 + A ± B )/5 } --- (4) となります。x の値を少数で求めて、式(4)から θ の値を少数で求め( 0 < θ < 2*π )、それを式(2)に代入しても最大・最小値が求められます。

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  • 回答No.3
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

問題の関数は cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2 でも、cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ/2) でも、極大点は解析的には求められません。関数の式はあってますか?

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質問者からの補足

返事が遅くなりすみません。 cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2 になります。 θの値は求められなくとも、極小値は求められるのか。

  • 回答No.2
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

式を間違えましたので修正します。 f(θ) は   cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2 ですか、それとも   cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ/2) ですか。y = f(θ) のグラフは、前者なら赤、後者なら緑の曲線になるので、前者か後者かで最小値が違ってきます。

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  • 回答No.1
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

f(θ) は   cos(x)-3*sin(x)*cos(x)/2 ですか、それとも   cos(x)-3*sin(x)*cos(x/2) ですか。y = f(θ) のグラフは、前者なら赤、後者なら緑の曲線になるので、前者か後者かで最小値が違ってきます。

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