積分の計算について

質問

∫(0→∞)e^(-x^2)dx=(√π)/2　はどうやって求めるのでしょうか。教えてください。また、数式の書き方はこれでいいですか。勉強不足ですみません。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

I=∫(0→∞)e^(-x^2)dx=(√π)/2
I^2={∫(0→∞)e^(-x^2)dx}{∫(0→∞)e^(-y^2)dy}
=∫[D:x≧0,y≧0]e^(-x^2-y^2)dxdy
x=r*cos(t),y=r*sin(t)と置換積分, dxdy=rdrdt
I^2=∫(0→π/2) dt∫(0→∞)re^(-r^2)dr
=(π/2)[-(1/2)e^(-r^2)](0→∞)
=π/4
I=√(π/4)=(√π)/2

お礼

ありがとうございます。勉強になりました。

回答No.3

hugen

∫(0→∞)e^(-x^2)dx=(√π)/2　⇔　2∫(0→∞)e^(-x^2)dx=√π
⇔∫(-∞→∞)e^(-x^2)dx=√π　⇔　{∫(-∞→∞)e^(-x^2)dx}^2=π
----------------------------------------------------------------
{∫(-∞→∞)e^(-x^2)dx}^2
=∫(-∞→∞)e^(-x^2)dx∫(-∞→∞)e^(-y^2)dy
=∫(-∞→∞)dx∫(-∞→∞)e^(-x^2)e^(-y^2)dy
=∬[R^2]e^(-x^2-y^2)dxdy
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/calculus/cal2-v03.pdf
例題1.5.

お礼

とても参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

sanori

こんばんは。

それは、「ガウス積分」の右半分です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86

お礼

ありがとうございます。