定積分の定義についての問題です

質問

a＞０として、定積分∫ｘ＾２ｄｘ※（範囲は０～a）です。
を定義通り求めよ。(閉区間[０、a]に細分を用いて計算せよ。)

定義がいまいちわからず、困っています。
もしよろしければ教えてください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

定積分∫[0,a]{x^2}dxは、曲線y=x^2とx軸、そしてx=0とx=aで囲まれた領域の面積を表します。
ですから、この問題はその領域の面積を求めよと言っているのに等しいです。
具体的にどうするか、いま考えている領域をたくさんの細い帯状の領域に分割し、その帯状の領域を長方形で近似して面積を求めた後に、分割数→∞の極限をとります。

とりあえず「区分求積法」で調べて見てください。
または教科書にも区分求積法のページがあると思いますので読み直してください。

お礼

ありがとうございます。
「区分求積法」を調べ再度がんばりたいと思います。

回答No.3

tsukita

こんばんは。

“定積分の定義”は１つではありません。
少なくとも私は２つ知ってます。
（１つ目）微分の定義を利用した定義
（２つ目）積分学としての定義（微分は定義に用いない）

定義を補足していただけますか？
そうすれば、他のみなさんの解説もわかりやすくなると思いますよ。
“不定積分の定義”と“定積分”の定義があるといいです。

お礼

区分求積法を使うらしいです。
説明のほうが足らなくてすみませんでした。

回答No.2

alice_44

定積分 ∫[x=0～a] f(x) dx の定義は、
0 = x_1 ＜ ξ_1 ＜ x_2 ＜ ξ_2 ＜ x_3 ＜ … ＜ ξ_n ＜ x_(n+1) = a
となる数列 x_k, ξ_k をとるとき、
Σ[k=1～n] (x_(k+1) - x_k) f(ξ_k)
が max(x_(k+1) - x_k) → 0 の条件下に
収束するならば、それが定積分
…というものです。
この定義に忠実に計算するのは、
困難かと思います。

お礼

わざわざありがとうございます。
説明不足なのに回答していただいてありがとうございました。
計算が難しそうですが理解できるようがんばります。