効用関数について

質問

ある消費者の効用関数がＵ＝ｘ0.5＋ｙであり、財Ｘと財Ｙの価格は一定であるとしよう。この人の所得Ｍが十分におおきいとき、所得がさらに増加していくと財Ｘの消費量はどうなるか？

この質問の答えが、一定である。なのですが、どうしてそのような答えになるのかがわかりませんでした。詳しいかたがいればた助けてください。どうかお願いします。

＊　（ｘ0.5はｘの０．５乗のことです。）

回答No.1

ur2c

まず、限界効用
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%90%E7%95%8C%E5%8A%B9%E7%94%A8
はわかってますか？ これが肝です。上の記事にある「限界効用逓減の法則」が X, Y について成立っているかどうかを考えてください。

次に、限界効用の「限界」は微分のことですから、微分
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95
はわかってますか？ これに慣れていないと、限界効用という言葉は知っていても、具体的な運用は苦しいです。

以上の２点が授業でやったはずの予備知識で、あとはその応用です。

X, Y の価格をそれぞれ p, q とすると、普通は予算制約
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%88%E7%AE%97%E7%B7%9A

p x + q y = M

のもとで効用

U = x^(1/2) + y

を最大化します。だけど当人は大金持ちで予算制約なんか問題ではない、という設定です。だから当人の関心は限界効用だけです。X の限界効用

dU/dx = (1/2) x^(-1/2)

は x が大きくなると 0 に近づき、限界効用逓減の法則が成立つ。つまり X がいっぱいあれば「そろそろ、もういいよ」となります。それに対して Y の限界効用

dU/dy = 1

は y によらず 1 で、限界効用逓減の法則が成立たない。つまり Y がいくらあっても、まだ欲しいのです。

というわけで、大金持ちがもっと大金持ちになると「Y はいくらでも欲しいけど、X はあるだけでもういいよ」という状態、つまり「x は一定」に近づきます。