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[確率の求め方]複数のものから特定のものを取り出さない確率の求め方

  • 質問No.5620843
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お礼率 100% (2/2)

次の場合の確率の求め方を教えてください。

5つの爆弾があり、その内3つは不発弾です。
残りの2つはその両方に接触した場合に爆発します。

この5つの爆弾に1つずつ接触していくとき、
その接触回数ごとに爆発が起こらない確率を教えてください。

1. この確率が求められる式と
2. その式を求めるまでの理論
を教えてください。

【参考】
5つの爆弾のうち4つが不発弾、1つが爆発する爆弾であるときの
接触回数ごとの爆発が起こらない確率は、
・一回の接触であれば4/5
・二回の接触であれば4/5 × 3/4
となるんだろうな、という程度は理解できています。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
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ベストアンサー率 48% (5664/11798)

こんばんは。

爆発する爆弾を×、不発弾を○とします。
仮に、爆発した後も残りを触り続けるとして、
5回のうち、×には2回触れます。

これを1回目から5回目まで書き出すと、
12345
××○○○ A
×○×○○ B
×○○×○ C
×○○○× D
○××○○ E
○×○×○ F
○×○○× G
○○××○ H
○○×○× I
○○○×× J
の10通りがあります。
なぜなら、5か所ある中から2か所(3か所でもよいですが)を選ぶ組み合わせの数は、
5C2 = 5×4/(2×1)=10(通り)
だからです。

(あ)1回目までに爆発する確率は、0。
(い)2回目までに爆発する確率は、2C2/10 = 1/10
(う)3回目までに爆発する確率は、3C2/10 = 3/10
(え)4回目までに爆発する確率は、4C2/10 = 6/10
(お)5回目までに爆発する確率は、5C2/10 = 10/10

それぞれの差を取って、
ちょうど2回目爆発 = (い)2回目までに爆発 - (あ)1回目までに爆発 = 1/10 - 0 = 1/10
ちょうど3回目爆発 = (う)3回目までに爆発 - (い)2回目までに爆発 = 3/10 - 1/10 = 2/10
ちょうど4回目爆発 = (え)4回目までに爆発 - (う)3回目までに爆発 = 6/10 - 3/10 = 3/10
ちょうど5回目爆発 = (お)5回目までに爆発 - (え)4回目までに爆発 = 10/10 - 6/10 = 4/10

となります。

「その接触回数ごとに爆発が起こらない確率」は、それぞれ1から引けば良いです。

ご参考に。
お礼コメント
cuculu_

お礼率 100% (2/2)

回答ありがとうございます!

○×の表記はとても分かりやすくきちんと理解できました。

また、自分の質問では明確に書けていなかったのですが、
特に知りたかったのは、ちょうどn回までの爆発、ではなく
n回までに爆発する確率でした。

参考などから読み取っていただけたのか、
偶然解説に出てきたのかは分かりませんが、
その点を記述いただけたのは助かりました。

丁寧な解説ありがとうございました!
投稿日時:2010/01/25 23:52

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 56% (890/1576)

 接触回数ごとに、一つずつ、爆発が起こる確率を考えていきます。
 n回目で爆発する確率を P(n) とします。

1) 1回目で爆発する確率
   P(1)=0

2) 2回目で爆発する確率
  5個のうち2個接触する場合の数は 5C2
  接触する2個のうち爆弾2個である場合の数は 2C2
   P(2)=2C2/5C2=1/10

3) 3回目で爆発する確率
  5個のうち3個接触する場合の数は 5C3
  接触する3個のうち爆弾2個である場合の数は 3C2
  ただし、3C2/5C2 で得られる確率は3回目までに爆発する確率で、2回目で爆発する確率が含まれているので、
 
   P(3)=3C2/5C2 - P(2) =1/5


  以下、同様に、

4) 4回目で爆発する確率
   P(4)=4C2/5C2 - P(2) - P(3) =3/10

5) 5回目で爆発する確率
   P(5)=5C5/5C5 - P(2) - P(3) - P(4) =2/5

 (ちなみに、P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=1 となっています。)


 あとは、これを爆発が起こらない確率 1-P(n) に置き換えれば 求める確率が得られます。

 1回目で爆発が起こらない確率: 1-P(1)=0
 2回目で爆発が起こらない確率: 1-P(2)=9/10
 3回目で爆発が起こらない確率: 1-P(3)=4/5
 4回目で爆発が起こらない確率: 1-P(4)=7/10
 5回目で爆発が起こらない確率: 1-P(5)=3/5
 
お礼コメント
cuculu_

お礼率 100% (2/2)

回答ありがとうございます!
ちょっと考えましたがきちんと理解でしました。

コンビネーションで解決できるんですね、
数学から随分遠のいていたせいか思いつきませんでした。

丁寧な解説ありがとうございました!
投稿日時:2010/01/25 23:46
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