解析の重積分の変数変換の問題についての質問です。

質問

解析の重積分の変数変換の問題についての質問です。
画像の問題を空間図形への変数変換によって解くと０になってしまいました。
答えは4π/5なんですが途中式がわからないので教えて下さい。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

直交座標系（ｘ、ｙ、ｚ）を極座標系（ｒ、φ、θ）に変換します。

　　被積分関数：　x^2+y^2+z^2＝r^2
　　積分範囲：　　r^2≦１　　⇔　０≦r≦１
　　　　　　　　　（０≦φ≦２π、０≦θ≦π）

　　微小量：　dx・dy・dz＝r^2 sinθ dr・dφ・dθ

Ｉ＝∫[0→π]dθ ∫[0→2π] dφ ∫[0→1] dr r^2 r^2 sinθ
　＝∫[0→π]sinθdθ ∫[0→2π] dφ ∫[0→1] r^4 dr
　＝２×２π×(1/5)
　＝4π/5

　ちなみに、　どうしたら　０　になりましたか？
　ひょっとしたら、　∫[0→π]sinθdθ の計算を間違えていませんか？

　∫[0→π]sinθdθ
＝[-cosθ][0→π]
＝-cosπ+cos0
＝-(-1)+1
＝２

お礼

丁寧にありがとうございます！
ちなみに０になった理由は0≦θ≦2πで計算してたからでした↓↓