確立変数と確立分布

質問

Ｘのとり得る可能な値が０，１，２・・・のときに、
Ｅ（Ｘ）＝Ｐ（Ｘ＞０）＋Ｐ（Ｘ＞１）＋Ｐ（Ｘ＞２）＋・・・・で与えられることを示すのって、どうやればいいのでしょうか？お分かりになる方いらっしゃたら、教えてください！！

回答No.3

oruka · ベストアンサー

おはようございます。
Ｐ（Ｘ＞０）等の意味はイメージできていますか？
これは「Ｘ＞０である確率」を意味しますから
Ｘが０，１，２・・ｎ－１，ｎと整数値しかとらなければ
Ｐ（Ｘ＞０）＝Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝２）＋Ｐ（Ｘ＝３）＋・・＋Ｐ（Ｘ＝ｎ）
となります。同様に、
Ｐ（Ｘ＞１）＝　　　　　　　Ｐ（Ｘ＝２）＋Ｐ（Ｘ＝３）＋・・＋Ｐ（Ｘ＝ｎ）
Ｐ（Ｘ＞２）＝　　　　　　　　　　　　　　Ｐ（Ｘ＝３）＋・・＋Ｐ（Ｘ＝ｎ）
・
・
Ｐ（Ｘ＞ｎ－１）＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ（Ｘ＝ｎ）

これを縦に足し算すると、、
Ｐ（Ｘ＞０）＋Ｐ（Ｘ＞１）＋・・＋Ｐ（Ｘ＞ｎ－１）
＝１＊Ｐ（Ｘ＝１）＋２＊Ｐ（Ｘ＝２）＋・・＋ｎ＊Ｐ（Ｘ＝ｎ）
という関係が求まりますね。（並べた式の数は０～ｎ－１でｎ個ですからね）
この前半は示したい等式の右辺ですし、後半はＥ（Ｘ）の定義の式になっています。

お礼

大変よくわかりました！ありがとうございました！

回答No.4

kony0

E(X)=Σ(n=0,1,2,...) n*P(X=n)
=Σ(n=0,1,2,...) Σ(i=1～n) P(X=n)
=Σ(i=1,2,3,...) Σ(n=i,i+1,i+2,...) P(X=n)
=Σ(i=1,2,3,...) P(X≧i)

２行目→３行目のところは、積分と同様の手法で、順序の変換を行っています。

あとは、Xの取り得る値が整数値なので、
P(X≧i)=P(X>i-1)
というのを使えば終わり。

お礼

細かい式なのにご丁寧にありがとうございました！！

回答No.2

nubou

Ｘ＝ｎ（ｎは０以上整数）である確率がｐ［ｎ］であり
Ｘ＝ｘ（ｘは負か整数でない実数）である確率が０のとき
Ｅ（Ｘ）＝Σ（０≦ｎ）・ｎ・ｐ［ｎ］
であり
Σ（０≦ｎ）・ｐ［ｎ］＝１
です

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

noname#24477

Ｅ（Ｘ）は平均ですね。

たとえば
Ｘのとる値が０，１，２ぐらいで考えて見ましょうか。
平均は確率変数と確率を掛けたものを足していくんでした。

Ｅ（Ｘ）＝０＊Ｐ（Ｘ＝０）＋１＊Ｐ（Ｘ＝１）＋２＊Ｐ（Ｘ＝２）

ここで係数の２を１＋１に分けます。

＝Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝２）＋Ｐ（Ｘ＝２）
＝｛Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝２）｝＋Ｐ（Ｘ＝２）

Ｘ＝１のときとＸ＝２のときをあわせればＸ＞０のときです
以下同様。

＝Ｐ（Ｘ＞０）＋Ｐ（Ｘ＞１）

ご自分で変数が０，１，２，３ぐらいのときにためしてみればわかると思います。

お礼

お礼が遅くなりましたすいません(+o+)ご丁寧にありがとうございました！！