命題の反例はその命題の対偶の反例になるのでしょうか？

質問

命題の反例はそのまま命題の対偶の反例になるのでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ある反例が反例であるためには、その対象は
∀x P(x) …(1)
（どんなxについてもP(x)である）
という形の命題であるはず。このとき、
P(a)
を示せば、
∃x(￢P(x))
（あるxが存在して、P(x)でない）
であるから(1)の否定が証明されたことになり、このaが「反例」です。
　ところで、命題(1)に「対偶」なんてものはありませんから、「対偶」という概念の出番がありません。

　もしかすると、P(x)が(Q(x)→R(x)) という格好をしている場合、すなわち
∀x (Q(x)→R(x)) …(2)
（どんなxについても、Q(x)ならばR(x)である）
という話をなさってるのかな、と思いますけれども、この命題(2)にも対偶というものはありません。特に、
∀x ((￢R(x))→(￢Q(x))) …(3)
は(2)の対偶ではありませんのでご注意。

　そもそも「対偶」というのは、命題が
A→B
という格好をしているときにだけ意味がある概念です。でも(2)では→は括弧の中に入っていて、ムキダシになっていない。(2)において、A、Bは何か、と訊かれたら答えられない。なので、(2)の対偶、というものはないのです。

　それはそれとして、命題(2)のナカミの(Q(x)→R(x)) という所にだけに注目すると、(Q(x)→R(x)) と(￢Q(x))→(￢R(x))とは互いに対偶の格好をしていて同値である。なので、それを∀x( ) で囲って作った命題(2) と命題 (3)も同値である。だから、aが(2)の反例であれば、当然(3)の反例でもあります。
　と、これがご質問の意図だろうとは思います。
　が、しかしこのことを指して「命題の反例はそのまま命題の対偶の反例になる」と言うのはおかしい。対偶になったのは命題そのものではなく、ナカミの部分だけなのですから。

お礼

ありがとうございます。
難しいですが参考になりました。勉強してみます。

回答No.3

alice_38

「命題の対偶」という言い方が well defined でない
ということは、私も常々感じるところではあるけれど、
「対偶」というのは、述語の対偶に限った物でもなく、
命題論理における P→Q と ￢Q→￢P もある訳で…

あ、違うか。反例の話だから、全称命題に限定か…
してみると、「命題の反例」という言い方も、また
well defined でない訳で…　ああ…

お礼

ありがとうございました。
難しいですが、がんばって考えてみます。

回答No.1

Tacosan

命題「p→q」に対して「反例」がどのような形になるか, その対偶の反例がどのような形になるかを考えてみてください.

お礼

ありがとうございました。
考えてみます。