高校数学IIの問題

質問

2<x<8のとき(x^2-9x+16)/2x^2が取りうる範囲を求めよ。

高校数学IIの範囲で教えて頂けるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

このままの形だと、数学IIの範囲では解けないですね。
ですので、変形をしましょう。

単純に、分数を分けてしまいます。
(x^2- 9x+ 16)/(2* x^2)= 1/2- 9/2* 1/x+ 8* (1/x)^2

すると、1/xの関数として表されます。
あとは、1/xを tとでもおいて、tのとりうる値の範囲を考慮しながら計算すれば、2次関数の値域の問題となります。

少し分数の計算がめんどうかもしれませんが、がんばってください。

回答No.3

naniwacchi

#1です。

もう一つ考えられる別解を。
(x^2- 9x+ 16)/(2* x^2)= kとおいて、kの範囲を求めることを考えます。
このようにおくと、(1- 2k)* x^2- 9x+ 16= 0と書くことができます。
2＜ x＜ 8ということですので、この「2次方程式」が 2＜ x＜ 8で解をもつような kの範囲を求める。
と考えることもできます。

ただし、計算は相当めんどうだと思います。

あと、#2さんの回答について、
微分を用いれば一番よいのですが、「分数関数の微分」は数学IIIの範囲になってしまいます。
なので、「数学IIの範囲では解けない」と書かせてもらいました。

お礼

２度も回答を下さってありがとうございます。
どちらもとてもわかりやすく参考になりました。

回答No.2

oldyork

Ｎｏ１さんの解答が正道でしょうね

ふと思ったので別解？をば

数?までと言ってますので微分して増減表という手があります
与式＝ｙとしてｙ’を求め、２～８の範囲で増減表を考えることでｙの値の範囲を決定することも出来ます

２～８の間にｙ’＝０となるｘがあるかどうかで少し注意が必要ですが、増減表に慣れていればこのやり方も悪くない気が

お礼

なるほど、増減表を使うときれいに出てきそうですね。
参考にさせて頂きます。どうもありがとうございました。