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無限級数と極限の疑問です。

無限級数と極限の疑問です。 例えばx≠0のとき、 lim[x→0](x^2+1)=1 しかし0.000\\\(無限に0)=0なのになぜこれは成り立つのですか?

noname#107129
noname#107129

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

「0.00・・・=0だから、Xを無限に0に近づけるとX=0になり」のところに誤解があります. 「x を無限に 0 に近付ける」というのはあくまで「近づける」だけであって「その結果 0 になる」というわけではありません. たとえば, 「1 からはじめて順次 10 で割る」という操作を繰り返していけば「無限に 0 に近付ける」方法の 1つとなりますが, どの時点においても「0 になっている」ことはありません.

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質問者からのお礼

分かりました。あくまで0に近づけるだけで0ではないんですね。 もう一度参考書を読み直してみます。 度々解答頂きまして有難うございました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

この場合、極限の意味は,   xを0に近づけていけば(x≠0であっても)、x^2+1はいくらでも1に近くなる と言うことです。 いくらでも近くなるとはどういう事か、それは差がいくらでも小さく出来ると言うことです。 例えばあなたが、「x^2+1を1±0.1以内にしてみろ」と言ったなら、x=0.3を代入することで   x^2+1 = (0.3)^2+1 = 1.09 と出来ます。 さらに「1.09では近いとは言えない、1±0.01以内にしてみろ」と言えば、x=0.09を代入することで   x^2+1 = (0.09)^2+1 = 1.0081 と出来ます。 さらにさらに「1.0081では近いとは言えない、1±0.001以内にしてみろ」と言えば、x=0.03を代入することで   x^2+1 = (0.03)^2+1 = 1.0009 と出来ます。 このようにあなたがどれだけ1に近い値を要求したとしても、xを0に近づけることであなたのリクエストに応えることが出来ます。 このようなときに「x→0におけるx^2+1の極限は1」と言い、式で書くと   lim[x→0]{x^2+1} = 1 となります。 決して「x→0のときx^2+1が1に"なる"」という意味ではないので、そのように覚えているなら改めて下さい。 その値に"なる"わけではありません、(等しくはならないものの)どんどん近づいていくその先が1であるという意味です。 もう少し補足すると、 もしあなたが「x^2+1を0.5±0.1以内にしてみろ」と言ったとしても、どんなに頑張ってもx→0のときにx^2+1を0.5に近づけることはできません、ですから   lim[x→0]{x^2+1} ≠ 0.5 なのです。 x^2+1は0.5には近づいて行けない、しかし1になら近づいて行ける。この感じわかりますか?

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  • 回答No.1
  • Willyt
  • ベストアンサー率25% (2858/11130)

この問題は無限級数ではなく、単なる関数であり、極限値を考えるまでもなく、x=0のときにはこの関数値は1になります。何か勘違いがあるのではないでしょうか? 極限値を求めなければならないのはその関数値がx=0のときに求まらないときに求めるのです。たとえば sinX/X はx=0 のときの値はありません。しかし sinx を級数展開すると x+x^2/2+・・・となりますから、極限値としては1という値が求められます。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 少し見た程度なので質問の仕方が悪いようです。 では、sinX/XはX=0のとき値がないですが、ではなぜそれをX→0としたら極限値がでるのでしょうか。0.00・・・=0だから、Xを無限に0に近づけるとX=0になり値はないのではないでしょうか?勘違いしていたら、出直します。

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