an=cos(nπ/5)の収束部分列をすべて求めよ。という問題が分かり

質問

an=cos(nπ/5)の収束部分列をすべて求めよ。という問題が分かりません。　

回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

＞「どこから取ったのか」に無限の可能性がありますよね＞#2.

まあ，そうです．
けど項番号まで書くのが面倒ですんで
1を織り交ぜれば，明らかですんで，ま，そういうことで．＞#3

ちなみに・・・この(-1)^nってのは
ヒントなんですよ＞質問者さん
an=(-1)^nとは違うけど，
問題の数列の挙動はこの(-1)^nに似てて
集積点の個数が違うだけ．
しかも集積の仕方は(-1)^nと同じ．
単位円上に72度ずつ点をうって，それらをx軸に射影すれば
挙動がすぐわかるでしょう．

お礼

単位円上に点を打ってx軸に射影してみたら、どのような挙動だかわかりました。
これをすべては書ききれないけれど、nをつかえばあらわせそうです。ありがとうございました！

回答No.5

alice_38

列挙は、もちろん不能だけれども、
記述することは、できそうな…

要するに { an } には、6 種類の値しかなく、
n がどれだけ大きい部分にも、6 種類全部が
現われるのだから、
収束部分列は、この 6 種類の値からなる列で
n がある値より大きいところでは定数列となる
ようなもの。

「どこから取ったのか」は、無視することに
なるけれど。

お礼

｛an｝には６種類の値しかないことが分かったので、それぞれについてnを使って表してみることにしました。
nには規則性があるので、これで「どこからとったのか」も表せる気がします。ありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

1 を混ぜなくても
-1, -1, -1, ...
という数列ですら「どこから取ったのか」に無限の可能性がありますよね＞#2. 「数列として」は同じだけど, 「もとの数列のどこから持ってきたのか」が違えば「部分列として」は違うものと解釈せざるを得ないはず....

回答No.2

kabaokaba

＞an=cos(nπ/5)の収束部分列をすべて求めよ。

「任意の有界な実数列は収束する部分列をもつ」（Bolzano-Weierstarss）
の練習問題だとは思うんだけども。。。
本当にこんな問題ですか？
収束部分列ってのが「部分列で収束するもの」
という普通の意味であるなら
すべてなんか求められません．
だって無限のパターンがあるから・・・

たとえば。。an=(-1)^n なんだと
収束する部分列として
-1,-1,....,-1,1,-1,....-1,-1,...
なんていう風にほとんど全部が -1 なんだけども
好き勝手な有限個の位置に好き勝手な有限個の1をいれれば
ぜんーぶ「収束する部分列」だから，
全パターンなんか列挙不可能です．

回答No.1

R_Earl

> an=cos(nπ/5)の収束部分列をすべて求めよ。という問題が分かりません。

問題のどこが分からないのでしょうか？
36°の倍数の角度に対するcos値の求め方が分からないのでしょうか？
それとも収束部分列が何かが分からないのでしょうか？

[1] cos(π/5)の値
cos(π/5) = cos36° = (1+√5)/4
です。
加法定理を利用すればcos(2π/5)やcos(3π/5)等も求まります。

cos36° = (1+√5)/4の導出方法は色々あります。
加法定理と方程式を利用した方法もありますし、
36°、72°、72°の角を持つ二等辺三角形を利用して幾何的に求める方法もあります。
導出方法を書いてあるサイトなどもあるので、探してみてはどうでしょうか？

[2] 収束部分列について
収束部分列というものを初めて聞いたので、調べてみました。
このサイトに書いてある通りのもので良いのでしょうか？
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Limit/LimitOfSequence/Theorem2.htm

もし違っていたら、収束部分列とは何かを教えてください。
あっていたら、一体何が分からないのかを教えてください。