１次元射影直線問題について

質問

以下の問題を証明したいのですが…イマイチどう説明して解答すればいいのかわかりません…。

平面R^2上の原点を通る直線全体を１次元射影直線RP^1とよんだ。R^2上の直線全体に対し、lとl'が平行（ｌ//l'）のとき、同値とし、ｌと同値な直線たちをまとめて［ｌ］と書く。このような元［ｌ］の集合をR^２/～とおく。このときRP^1とR^２/～は一対一対応にあることを示せ。

という問題です。
当たり前のような気もしますが、この問題はなにかキーとなるポイントがあるのでしょうか？

『R^2上の直線全体に対し、lとl'が平行のとき、同値とし』とあるので、ｌとｌ'が一対一対応している。よって、これらの集合を表したRP^1とR^２/～も一対一対応である。といった説明でいいのでしょうか？（方向性が全く違っていましたらすみません…）
ヒントでも構いませんのでよろしくお願いします。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

ユークリッド幾何学によれば、任意の直線 l に対し、
原点を通って l に平行な直線は唯一つ存在します。
これにより、R^2 上の直線全体の集合から PR^1 への
自然な写像 f が定義できます。
直線と直線が平行という関係が推移的であることから、
f は R^2/～ 上 well-defined であり、
R^2/～ から PR^1 への写像とみなすことができます。
さて、f は全単射でしょうか？

お礼

ほぼ、解答をありがとうございます。
その後、授業でやらないと思っていましたが、先生が軽い証明をしまして、少しだけ理解することが出来ました。
といっても、きちんと証明することは未だ出来ないのですが。。。
ありがとうございました！

回答No.1

kabaokaba

＞といった説明でいいのでしょうか？（方向性が全く違っていましたらすみません…）

だめです，本当に方向性がまったく違います．
たとえば，lをx+y=1としたらlと同値なl'としては
x+y=2, x+y=3,...,x+y=10,....
といった連中がすべてＯＫです．
一対一ではないでしょう．
それにあなたの説明では
R^2/～のことしか言っていない．
こういう問題の証明は両方の空間の定義に従って，
きちんと写像を構築することです．
ほとんど自明ですが，こういう自明なことを
きちんと式で書き表せないということは
実際には分かってない（少なくとも理解不足）
ということなんです．

ヒントだけ：
R^2の直線の方向ベクトルとR^2/～の要素との関係を考えよ．
「PR^1の斉次座標」「R^2の直線の方向ベクトル」の関係を考えよ．

お礼

ヒント、ありがとうございました。
結局、冬休みあけの授業で先生が解説してくれたのですが、わりと曖昧な感じでささっと終わってしまい…関係性といった詳しい証明はやりませんでした。
（図を書いて、一対一対応になってるだろー！的な感じで）
文章で証明することは出来ませんでしたが：；先生の図的な証明で少し理解することが出来ました。
ありがとうございました。