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初めて投稿させて頂きます。
初めて投稿させて頂きます。 いきなりで大変恐縮なんですが よろしくお願い致します 初項 a_1＝１ a_n=√１＋a_n-1 (n≧１)の暫化式で表される数列について αを極限値 α＝lim[n→∞] a_n＝lim a_n-1 で定義するとき αの満たす方程式を求めよ また方程式を解き、αの値を求めよ という問題です。 ちなみに_より後ろの数字や記号は小さい文字で書かれています・・・ どうかよろしくお願い致します!
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> 具体的にαの満たす方程式は何か？ a_n = √1 + a_n-1 の両辺でn → ∞を考えると lim[n→∞](a_n) = lim[n→∞](√1 + a_n-1) という等式ができあがります。 この式の左辺はlim[n→∞](a_n)は、問題文に書いてある通りαに収束します。 同様に右辺lim[n→∞](√1 + a_n-1)は、√1 + αに収束します (問題文に書いてあるように、a_n-1はn → ∞の時αに収束するからです)。 なので lim[n→∞](a_n) = lim[n→∞](√1 + a_n-1) ↓ α = √1 + α となります。この「α = √1 + α」が方程式です。 「α = √1 + α」という等式ができあがることは 前回の回答(ANo.4)に返信をした時点で分かっていたのでしょうか？ もしかして、 「α = √1 + αという等式は、見慣れた方程式の形からかけ離れている。 だからα = √1 + αは方程式じゃない」 と考えていたのでしょうか？ 例えばsin(x^2 + 3) = cos(x)という等式も方程式ですし、 log(x) - x^4 + x + √x = 0という等式だって方程式です。 「ある変数が満たす関係」が書かれた等式は、方程式と呼べるんです。 例えルートがあっても、sinやcosやらの関数が入ってきたとしてもです。 > αを求めるときの計算過程などを > お聞きできると大変嬉しいです。 右辺のルートが邪魔なので、 両辺を2乗して右辺のルートを消しましょう。 そうするとただの二次方程式です。 αの値が2つでてきますが、 収束値が2つというのはおかしいですよね (1つの値に収束する、という話なので)？ というわけで最後に、 どちらの値が正解なのかを考える必要があります。 今後も数3の内容をベースにした話が出てくると思うので、 これを機に数3の勉強をしてみる方が良いかもしれません。 実は最後の「正しい収束値の選択」の部分も、 高校数学の数3の無理関数の分野を習っていれば、 すぐに正解が分かったりします (今回の問題では、無理関数を習ってなくても正しい答えを選ぶことはできます)。
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- R_Earl
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> 出来ましたら計算過程なども > 詳しく教えてほしいのですが・・・ 何の計算過程でしょうか？ 少なくとも私の回答内容の中の数式には 複雑な式変形を要するものはないのですが…。 a_n = √1 + a_n-1 の両辺でn → ∞を考えると lim[n→∞](a_n) = lim[n→∞](√1 + a_n-1) という等式ができあがります。 この式の左辺はlim[n→∞](a_n)は、問題文に書いてある通りαに収束します。 同様に右辺lim[n→∞](√1 + a_n-1)は、√1 + αに収束します (問題文に書いてあるように、a_n-1はn → ∞の時αに収束するからです)。 これで大丈夫でしょうか？ もし疑問が解決しないようなら、どこが分からないのかを教えてください。
お礼
何度も何度もすみません。 具体的にαの満たす方程式は何か？ ということと αを求めるときの計算過程などを お聞きできると大変嬉しいです。 本当に申し訳ありません・・・
- alice_38
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両辺の極限をとって、漸化式を 極限値に関する方程式に変形する場合、 数列の極限が収束することを 証明しなければなりません。 数列の極限は、発散する場合もありますから、 この証明は、必須です。 質問文に示された解法の流れでαを求めると、 lim an が、αに収束するか、発散するか のどちらかになることまではつきとめた と言えます。 最後の詰めを、どちらの小問に含めて書くかが 大変悩ましい出題形式になってしまっています。
お礼
回答ありがとうございました。 何のことやらさっぱりで 回答していただき大変助かりました。 ありがとうございました。
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
余談ですが… 小問の並べ方が、大変残念な問題です。 「αの満たす方程式を求めよ」 「方程式を解き、αの値を求めよ」 の順番で話が進んでしまうと、 漸化式から数列の極限を求める問題で 重要かつ忘れられがちな、収束性の確認 を解答中の何処に置けばよいのか が分かり難くなります。 曖昧にしてはいけないことを、あえて 曖昧にするよう誘導しているようで、 とても気になります。
お礼
回答ありがとうございます。 僕は数学?を学んでいないものですから 何のことやらさっぱりわからなかったのですが 回答して頂けて本当に嬉しいです。
補足
すみません。 数学３です。
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
a_n=√１＋a_n-1 の両辺でn → ∞を考えてみてはどうでしょうか。 つまりlim[n→∞](a_n) = lim[n→∞](√１＋a_n-1)です。 そうすると左辺はα、右辺は√1 + αに収束するはずですよね。
お礼
回答ありがとうございます。 僕は数学三を学んでいないので とても困っていました・・・ 出来ましたら計算過程なども 詳しく教えてほしいのですが・・・ お願いできないでしょうか？（；_；）
お礼
>>「α = √1 + αという等式は、見慣れた方程式の形からかけ離れている。 だからα = √1 + αは方程式じゃない」 と考えていたのでしょうか？ 正にその通りです!! 本当にありがとうございました!! やっと解決することが出来ました。 これを機に数３を勉強してみたいと 思います。 また質問するやも知れませんが どうぞよろしくお願いします。