熊本大学2001年 数学過去問

質問

(1)次の問いに答えよ．
(1) x < 0 のとき，eーx とx2 + 1 の大小関係を調べよ．
(2) 2 つの曲線y = xeーx;　y = x(x2 + 1) と直線x = ー1 で囲まれる部分の面積を求めよ．

答え(1) eーx > x2 + 1
　　　(2)
　　　　　1
　　　　　4
　済みません表記の仕方が悪くて、
（１）はeの－ｘ乗でxの２乗＋１という意味で
（２）もｙ＝ｘかけるｅの－ｘ乗　ｙ＝ｘ（ｘの2乗＋１）
答えも同様です。
答えの（２）は4分の1です。

解答はあるのですが解説がないのでよろしくお願いします。

回答No.2

noname#108210

(1)
f(x)=exp(-x)-(x^2+1)‥‥(1)
f'(x)=-exp(-x)-2x‥‥‥‥(2)
f''(x)=exp(-x)-2‥‥‥‥(3)
f'''(x)=-exp(-x)‥‥‥‥(4)

(4)よりf'''(x)<0　したがってf''(x)は単調減少。
f''(x)=0とおくと，exp(-x)=2 これから，x=-log2
よって，x<-log2 で　f''(x)>0,　x>-log2 で　f''(x)<0
したがって，　f'(x)は　x=-log2 で極大。
極大値は　f'(-log2)=2(log2-1)　<0
したがって，x<0 で　f'(x)<0
よって，x<0 でf(x)は単調減少。
f(0)=0　であるから　f(x)>0.
ゆえに，x<0 で　exp(-x)>x^2+1‥‥(5)

(2)
同様にして，x>0 ではf(x)<0.
すなわち，x>0 では　exp(-x)<x^2+1‥‥(6)
したがって，x>0 では，x・exp(-x)<x(x^2+1)　なので２曲線が囲む部分はない。

(5)より，両辺にx　(x<0) を掛けて，x・exp(-x)<x(x^2+1)‥‥(7)
従って３曲線で囲まれた部分の面積Sは，

S=∫[-1～0]{x^3+x-x・exp(-x)}dx

あとはこれを計算するだけ。∫{x・exp(-x)}dx　の積分は，部分積分法
∫{x・exp(-x)}dx=-x・exp(-x)+∫exp(-x)dx　に注意して計算をすると，S=1/4　を得る。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

lialhyd

f(x)={exp(-x)-(x^2+1)}とおいて、f(x)が正になるのか負になるのかを調べる。
2回微分して増減表書けばわかるはず。
教科書の4章「微分法の応用」のなかの「方程式・不等式への応用」の部分を参照。

(1)がわからないと(2)はとけないね。
まず、2曲線は(0,1)で交わるのはわかるよね。
で、x<0の範囲においては(1)の結果から
exp(-x)　＞　x^2+1
x*exp(x)　＜　x(x^2+1)
になるよね。

どの部分が求める面積かわかればあとは積分するだけですね。

方針、理解に苦しみそうな場所だけピックアップしました。

お礼

丁寧にありがとうございました。