すいません

質問

(1)
x＾30をx＾4＋x＾3＋x＾2＋Ｘ＋1で割ったあまりは？

の問題で。

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1
はわかって。
x＾30=（x＾30）-1＋1

まではわかったのですが、そのあとがよくわかりません。
誰か、親切に教えていただけないでしょうか？　

x＾30=X＾30-1＋1
　　=(x＾5)＾6＋(-1)＾6＋１
の(-1)＾6の部分がよくわかりません。
それから、
｛(x＾5)＾3-1＾3｝｛(5＾3)＋1＾3｝
このあとは、どのように求めるかおしえてください

回答No.14

eatern27

整数の余りを考えます。
YをXで割ると商がQ,余りがRだとします。(0≦R＜X)
つまり、Y÷X＝Q余りR です。これを別の形で表せば
Y=QX+R
という式になります。

これを関数の世界に持っていって
f(x)をg(x)で割ると商がQ(x),余りがR(x)だとすると、
(f(x),g(x),Q(x),R(x)は整式、R(x)の次数＜g(x)の次数)
f(x)=Q(x)*g(x)+R(x) となるわけです。

質問は「x^30をx^4+x^3+x^2+x+1で割った余りは？」
という問題ですのでf(x)=x^30,g(x)=x^4+x^3+x^2+x+1として、
x^30=Q(x)(x^4+x^3+x^2+x+1)+R(x) (R(x)は3次式以下)
という形で表せれば、R(x)が答えになります。

そして計算の結果
Q(x)=(x-1)(x^25+x^20+x^25+x^10+x^5+1)、としたら、
x^30=Q(x)(x^4+x^3+x^2+x+1)+1
となることが分かりました。
だから答えは１
ということです。

回答No.13

mirage70

回答する前に、以前の質問に対して、貴方の回答のところで、
4次式の割り算までしかやったことがありません。
と、ありましたが、
次の問題を解いてみてください。
X^2-3X+2=(X-1)( 　　　　　　　 )+
X^2-3X+3=(X-1)( 　　　　　　　 )+
このうち、(X-1)で割り切れるものはありますか?
割り切れないとすると、余りは幾らですか?
X^3-1=(X^2+X+1)( 　　　　　　　 )+
此は、(X^2+X+1)で割り切れますか?
割り切れないとすると余りは幾らですか?

回答No.12

mirage70

まず最初に、
x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1) 此は、
x^4+x^3+x^2+x+1 で割り切れるれると云うことは理解出来ますか。
(x^5-1)/(x^4+x^3+x^2+x+1)=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)/(x^4+x^3+x^2+x+1)=(x-1)
此は、x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1) より、分子が同じことを意味しています。
(x^5-1)は、(x^4+x^3+x^2+x+1)に(x-1)を、掛けたものですので、(x^5-1)は(x^4+x^3+x^2+x+1)で割ると、商は(x-1)となり、余りは０と云うことは理解出来ますか。即ち、割り切れると云うことです。
此が理解されてから、
X^30をx^4+x^3+x^2+x+1で割るんですよね。
X^30だと割れないのでいくつかに分割をするんですよね
此でなく、X^30をx^4+x^3+x^2+x+1で割ると、式でなく、直接手書きで計算となりますので、此を避けるために、
X^30=(X^30-1)+1を利用するのです。
(X^30-1)が、(x^5-1)で割り切れることを証明すれば、
X^30=(X^30-1)+1から、余りは１であることが言えます。
ですので、
X^30-1=(x^5-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)でありまして、(x^5-1)は(x^4+x^3+x^2+x+1)で割り切れますので、
(x^30-1)+1を与式で割れば、余りは１となります。

回答No.11

Largo_sp

だいたいあってます。
最初に
x^30=(x^30-1) + 1
としたので、移項ではなくて、
割りきれる部分とあまり、という形にわけたのです。

移項して...という考え方にする場合は。
まず、x^30-1の因数分解を考える...
とすれば、移項して、x^30=...とすればいいです。

途中で、考え方が変わっている気がします。

回答No.10

Largo_sp

んと、最後の部分が間違ってますよ...

x^30は、割り切れませんので、
x^30-1を考えて、それが、x^4+x^3+x^2+x+1で割り切れる
ということを示しているだけです。だから、

>から(x^4+x^3+x^2+x+1)でわると、
>（x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
こうしてはいけないのです。
(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
↑~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
この部分が割り切れて、残りは余りです。
割り切れる部分の余りは0ですから、求める余りは1だけですよね...

補足

問題だと
x^30を(x^4+x^3+x^2+x+1)で割ると書いてありますが、
このとき方だと
x^30-1＋１
として考えて

x^30-1＝(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)
で、
(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)を左に移行すると残り１が残るから
余りは１となるんですか？
すいません。
説明がへたで

回答No.9

Largo_sp

何が、どうしてわからないのかがよくわかりませんが、
「n次関数f(x)がg(x)で割り切れる」ということは、
あるh(x)が存在して、
f(x)=g(x)h(x)となるということですので、
この場合、
g(x)=x^4+x^3+x^2+x+1
A(x)=(x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1
h(x)=(x-1)A(x)
とおくと、
f(x)=x^30-1=g(x)h(x)
というのはわかりますか?
また、
x^5-1=g(x)(x-1)
ですよね...
どちらもg(x)つまり、x^4+x^3+x^2+x+1で割り切れます。

長い式を書くのが面倒なので、関数に置き換えましたが
お判りになるでしょうか...

補足

ありがとうございます。
4次式の割り算までしかやったことがありません。
問題は
X^30をx^4+x^3+x^2+x+1で割るんですよね。
X^30だと割れないのでいくつかに分割をするんですよね
x^30-1+1=(x^10)^3-1^3+1
x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1) なので
=(x^5-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
なりますよね。
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
から(x^4+x^3+x^2+x+1)でわると、
（x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
がのこりますよね。
このあとがよくわからなくて、
通じてますか？

回答No.8

mirage70

=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)
はどこからでたのかわかりません。
此は、逆に書くと見やすいですね。
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
３月５日のNo3の式
A^5-1=(A-1)(A^4+A^3+A^2+A+1)で、AをXに置き換えたものです。
x^4+x^3+x^2+x+1で、X^30を割るのですから。
このままでしたら、計算が複雑になるので、
x^4+x^3+x^2+x+1に(X-1)を掛けたもの、即ち、
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)を利用して、計算をやりやすくしようとしたものです。
もう１度、最初から読み直してください。
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)は、最初の方に出ています。

=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
を、(x^4+x^3+x^2+x+1)でわるとあまりが１ですが、
(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1) /(x^4+x^3+x^2+x+1)=(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)
分子、分母共に共通因子(x^4+x^3+x^2+x+1)をもっており、約分出来ることはご存じですか。(x^4+x^3+x^2+x+1)が約分され、(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)が商として出てきます。
そして、括弧の外にかいてある＋１が余りとなります。

余り知識が無くてとありますが、どこまでならわかるのか知らせてください。わり算なら理解出来るとか。
文字式の計算を全くしたことがないのか、文字式のルールはある程度ご理解出来るのかを知りたいです。
それと、今まで解き方を書いてありますが、此を再度自分で書き写して、どこに何が書いてあるかを理解してください。

補足

ありがとうございます。
4次式の割り算までしかやったことがありません。
問題は
X^30をx^4+x^3+x^2+x+1で割るんですよね。
X^30だと割れないのでいくつかに分割をするんですよね
x^30-1+1=(x^10)^3-1^3+1
x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1) なので
=(x^5-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
なりますよね。
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
から(x^4+x^3+x^2+x+1)でわると、
（x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
がのこりますよね。
このあとがよくわからなくて、
通じてますか？

回答No.7

Largo_sp

あの...
>(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1
>はわかって。
とかいてあって、

>=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
>の=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)
>はどこからでたのかわかりません。
ってのは...

(x^5-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
の一番最初の項は、x^5-1...ですよ

補足

説明がへたでごめんなさい。
Ｎｏ，３からの説明になってしますのですが、
もう一度聞いていいですか？
上の式で、下から6行目で
＞x^30=((x^5)^6-1)+1=(x^5-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
まではわかったのですが、
＞=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
の=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)
はどこからでたのかわかりません。
それから、余りが１の件なんですか、
＞、(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)の部分は、割り切れて、余りは１となります。
について、
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
を、(x^4+x^3+x^2+x+1)でわるとあまりが１ですが、
どうやって割れるとわかるのですが、
すいません、知識がなくて。

回答No.6

mirage70

補足
わり算について、
割られる数=割る数×商＋余り
余りは、割る数よりも小さい数である。
１１を５で割るとあまりは幾らでしょうかと、します。
11=(11-1)+1=5・2+1
１１は、割られる数、
(11-1)=割る数×商
+1=余り
此処で必要なのは、(11-1)が実際に、割る数×商となっているかを証明する必要があります。此が、
５・２で、割る数(5)×商(2)となつている。
よつて、１１を５で割ると余りは１であることが言えます。

此と同様に、文字式について、
割られる文字式=割る文字式×商(１般に文字式)+余り
余りについては、数字でのわり算では、割る数よりも小さいことでした。文字式ではどう考えるかというと、文字式には次数がありますので此よりも小さい次数になったものが余りとなります。
X^30=((X^5)^6-1)　+1　について、
X^30は割られる文字式
((X^5)^6-1)=割る文字式×商
＋１は、余り
此処で、((X^5)^6-1)=割る文字式×商　が、成り立つことを証明する必要があります。此が、
(x^5)^6-1=(x^5-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)+1)=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)+1)となり、
割る文字式　x^4+x^3+x^2+x+1
商、(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)+1)
となりまして、((X^5)^6-1)=割る文字式×商　が、成り立つことを証明出来ました。
ですので、余りは１となります。

補足

ありがとうございます。
まだ、いくつか分からないところがあって、
Ｎｏ，３からの説明になってしますのですが、
もう一度聞いていいですか？
上の式で、下から6行目で
＞x^30=((x^5)^6-1)+1=(x^5-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
まではわかったのですが、
＞=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
の=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)
はどこからでたのかわかりません。
それから、余りが１の件なんですか、
＞、(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)の部分は、割り切れて、余りは１となります。
について、
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)((x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^+1)+1
を、(x^4+x^3+x^2+x+1)でわるとあまりが１ですが、
どうやって割れるとわかるのですが、
すいません、知識がなくて。

回答No.5

konkonponjp

mirage70さんが No.4 でおっしゃったように、整数で考えればわかりやすいと思います。

１０は５で割り切れる。
だから、１１（１０より１大きい）を５で割ると、あまりは１になる。

この問題では、x^30 を　（x^5+・・・+1）で割った余りを求めたい。（x^30-1）を割ったときには割り切れることがわかるので、それより１大きいx^30 を割ったときには余りは１になる、ということです。