半径Rの球が 1mL の中に入る最大の個数は？

質問

半径Ｒ（たとえば200 um)の粒子が, 1 mL (つまり1000 mm^2) の中に入る最大個数はいくつでしょう？？

最終的には、Ｒの関数となると思います。

すなわち　

体積Ｖ（Ｒ）＝ xxxxx

最密充填で考えた場合です。

いろいろ調べましたがどうもわかりません。
どうかお願いします。

回答No.2

okormazd · ベストアンサー

面心立方格子の最密充填とすると、次のようになります。
一辺あたりの最密充填格子の数をnとすれば、
格子点(球)の数Sは、
S=(n+1)(4n^2+2n+1)
となるでしょう。n=1,2,3・・・などとして数えてみてください。
質問の場合、球の直径をdとすると、単位格子の一辺は√(2)dです。
立方体の一辺をlとすれば、この中に入る格子の数は、
n=(l-d)/(√(2)d)
です。
したがって、l=10mm、d=0.4mmとすれば、
n=9.6/(√(2)*0.4)=16.97056275
面心立方格子の1層目の高さは、d/2/(√(2)d)=0.3536
2層目の高さは、d/2(√(29+1)/(√(2)d)=0.8536
だから面心立方格子が17段詰まるが、17段目の3層目は入らない。
したがって、
n=17で計算し、17段目の3層目の格子点の数、(n+1)^2+n^2*3(3面ある)を引けばよい。
21438-613*3=19599
個ということになる。
ちなみに、充填率は、0.657になる。
17段目が不完全なことが効いている。
17段目が完全だと、0.718になる。
これも、各面で詰まらない空白ができるのが効いている。

http://okwave.jp/qa5496955.html

回答No.4

kamiyasiro

既に，いくつかの回答が示されていますが，
世の中，最密充填とかで計算できるほど単純ではありません．
たしかに，１つの球に１２個の球は接することができますが，
実は，その１２個は互いに接してはいません．
ですから，どこかで１３個目が入る可能性があります．
この問題はケプラー問題といいます．
これを多次元に拡張した問題もあります．
これは「フェルマーの最終定理」「ポアンカレ予想」のような
未解決問題であり，「ニュートン１３球問題」と言います．

最密充填を多数個繰り返していくと
隙間がだんだん大きくなり，どこかで１個追加できる
というようなことが可能になるのです．

もし，この質問に解答できたら，
学術誌に投稿できるくらいの成果です．

回答No.3

okormazd

#2です。
補足
この場合は最密充填して各17段完全には詰まらなくても、多くの隙間が残るので、#2で計算したよりも多く詰まる可能性があります。しかしそれはちょっと計算できない。
21438-613=20825個
くらいの可能性がある。充填率は0.698くらいです。

回答No.1

chiezo2005

最密充填の充填率は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E6%96%B9%E6%9C%80%E5%AF%86%E5%85%85%E5%A1%AB%E6%A7%8B%E9%80%A0
にあるように約74％です。

したがって、半径Rの粒子の体積Vとして個数は個数が大きい場合には
0.74/V
が最大になります。

個数が大きい場合と書いたのは、個数が小さいときには考える体積の
形（というか端）の効果がでますので、上記数字からずれます。

極端な話、体積1mlの粒子（球状）が体積1mlの球状の空間を占めるときには
74％でなくてしっかり１個入りますので。