算数の約分がぱっと思いつきません。コツは？

質問

良い年をして恥ずかしいのですが、最近算数の勉強をやり直しています。
解き方などはかろうじて思い出せたのですが、約分がさっぱり？？？になるときがあり、切実に誰かに教えて欲しいと思うようになりました。

分数の約分で、3/6＝1/2となるのは、すぐにわかるのですが・・・・

例）75/100＝3/4

とすぐに解けてしまうのは何故でしょうか？
回答を見てもわからず、しばらく考え込んで、やっと、「5で割っているのか！」と気付きました。
大きな数字になると混乱します。
どうしてぱっと約分出来るのでしょうか。ぱっと答えてくれた人に聞いてみたのですが、「どうしてって言われても、普通に思いつくよ」と言われてしまいました・・・・

私の約分のやり方が、数字が大きくなると、基本的には九九の2の段から順に考えていくようなやり方なので、すごく要領が悪いなあと思っているところです。でも他にどのようなやり方があるのか・・・

どうか馬鹿な私に約分のコツなどあったらご指導願います。

回答No.7

kabaokaba · ベストアンサー

端的にいえばまさに「慣れ」．

分からなかったら，
＞私の約分のやり方が、数字が大きくなると、基本的には九九の2の段から順に考えていくようなやり方なので、
これで十分．
やってるうちにあなたが自分で言ってるように
「すごく要領が悪いなあ」と思うわけで
そうなると徐々にいろいろできるようになります．

とはいえ，2から順番に九九をたどるのではなく
2，3，7，11・・・
の順番で十分でしょう．5を飛ばしてるのは
5で割り切れれば必ず一の位は，0か5でしょう？
そうなればすぐ約分できる
それに加えて，きれいな「数」もすぐできるでしょう．
5，10，25，50なんかは代表格
そのほか，特徴的な数，
36や60の倍数なんかもすぐわかるでしょう
36は角度で慣れているし，60は時間で慣れている．

こういうのは生活習慣や本業で見かける数とかいった
個人の経験に依存するので，結局は「なれ」です．

お礼

＞2から順番に九九をたどるのではなく
2，3，7，11・・・

すみません。九九は9の段までしか自信が無いですorz
なので、単純に、素数で割ればイイ！の作戦は、数字が大きくなるにつれ、私には応用が利かないようだと先ほどの解答で思い知りましたorz
かといって、11の段、12の段、13の段・・・・と記憶していくのはさすがに遠回りで気後れします。

＞36は角度で慣れているし，60は時間で慣れている．
私は日常の生活においてまったく算数的な概念を取り入れていないのだなあということがわかりました・・・
数字を図でイメージ出来る方が、結局判りやすいし応用が利くのでしょうね。闇雲に数字だけを数字として捉えて計算しているようではダメなわけですね。

でも、「要領が悪い」と気がついただけでも、分からないことが分からないような、まったく無知であった学生の頃よりはマシなのでしょうね＾＾；
本当に数学や算数が理解できないまま大人になってしまったので・・・
（もともとは中学生数学をやり直そうとしていたのですが、どうやら算数レベルでわかっていない！となり、算数をやり始めました）

大きい数字の約分がきちんと出来ていない。なんて馬鹿なんだろう、と挫けそうになっていましたが、まずは、疑問が出てくるようになっただけでも進歩と思うことにします！
ありがとうございます。

回答No.6

staratras

ユークリッドの互除法です。場合によっては素因数分解による方法よりも速く計算できます。（ただし分子＜分母とします。また以下の計算で割りきれるというのは１の位までで割りきれるという意味です。）

１、分母を分子で割ります。
２、１で割りきれた場合は、その商(割り算の答え）の整数をＡとすれば、求める約分された分数は１／Aです。
３、１で割りきれなかった場合は、その余りで分子を割ります。
４、３で割りきれた場合は、その割った数Bが分母、分子の最大公約数なので、分母・分子をBで割れば約分できます。
５、３で割りきれなかった場合は、その余りで、割った数（一つ前の計算の余りを）でさらに割ります。
６、この計算を繰り返し、余りが１になる前に割りきれたら、その段階で、割った数C（一つ前の計算の余り）が、分母・分子の最大公約数なので、分母・分子をCで割れば約分できます。

注：この計算で、余りが１になったら、分母・分子に共通の1以外の約数はない(約分できない）ことになります。

例1　19／133
133÷19=7　(割りきれた）∴　19/133=1/7

例2　75／100
100÷75=１　余り25　→　75÷25=3　(割りきれた）　75÷25=3　100÷25=4　∴　75/100=3/4

例3　85/153
153÷85=1　余り68　→　85÷68=1　余り17　→　68÷17=4(割りきれた）　153÷17=9　85÷17=5　∴　85/153=5/9

例4　81/91
91÷81=1　余り10　→　81÷10=８　余り１　（余りが１になった）→　81/91はこれ以上約分できない

お礼

ありがとうございます！まだ回答の１～６まで全部きちんと理解できておりませんが、

例1　19/133
と出たとき、またいつものくせで、「割り切れない」という先入観が先立ちましたorz
つまり、私は「2で割れなかったら、次は奇数の段で考えていったら良い」はまったく応用できない、ダメのようだ、と今気付きました！
3の段以降の9の段まで、答えが19となるものが無いので。（つまり掛け算は9の段までしか思いつかない）

という事は、分母÷分子で割り切れたら約数出来る、と考え、次に、割り切れず余りが出ても割った分子を余りで割って、そのまた余りで割って・・・・とやっていったほうが良いよう？ですね？
あれ、ちょっと自信が無いので＾＾；、じっくり回答を読解していきます。
ありがとうございます！

回答No.5

osu_neko09

共通の約数を求めたいのですよね。
ではまず、大きいほうから小さいほうを引いてみましょう。
100-75=25
答えが０にならないので、引いた数と答えの大きいほうから小さいほうを引いてみましょう。
75-25=50
これを繰り返して・・
50-25=25
25-25=0
となるので、100と75はどちらも25で割り切れます。

ユークリッドの互減法といいます。引き算だけで最大公約数を求める方法です。
これを発展、改良したのがユークリッドの互除法として有名なのですが、こちらは割り算が出てくるので。

お礼

＞ユークリッドの互減法

数学の学者さんというのは、こういう数字の理路整然とした法則性に魅かれるのでしょうねー。数字のニガテな私でも、人生が500年あればゼヒじっくり取り組んでみたいものです。
０になるまで引いていくという求め方もあって、答えはいっしょでも解き方はいろいろあるというのがまた面白いですね。
ありがとうございました！

回答No.4

Trick--o--

偶数（１の位が０，２，４，６，８）は２で割り切れる
各桁の和（１２３なら１＋２＋３＝６）が３で割り切れれば、元の数も３で割り切れる
１の位が０，５は５で割り切れる

とかね。

４とか６はとりあえず考える必要は無い。
４で割り切れるものは２で２回割り切れるし、
６で割り切れるものは２と３で割り切れる。
素数だけ確認すればいい

お礼

ありがとうございます。
皆さん本当にこうしたコツをよくご存知なのですね。
購入した小学算数の本が、あまり詳しく回答の過程が書いていないので（まぁ、一般常識ですよね；；；）
なんでこういう回答になるの！？って頭を抱えることしばしばでしたが、ご指導頂いて本当に得心がいきます。

素数だけ確認すれば良い、というのが目からウロコです。
奇数というだけで「これはもう割り切れない！」と勝手に決め付けいるようなところがありました。固定観念ってダメですね。

回答No.3

info22

次の参考URLにある「割り切れる数」の性質を覚えておくと、約分や素因数分解で役立ちます。特に大きな九九の掛け算以上の数の因数を見つけるのにすばやく判定できます。

http://fujishima.main.jp/cgi/sitedev2/index.php/%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA

参考URL：

http://www.manabu-oshieru.com/sugakukiso/warikirerukazu.html

お礼

リンク先ありがとうございます。

割り切れる数の性質、というものがあるんですね。こんなにあったら覚えるのが大変・・・と思いましたが、

＞素因数分解で役立ちます。特に大きな九九の掛け算以上の数の因数を見つけるのにすばやく判定できます。

先にはもっともっと難しいものが待っているのですよね。今のうちにこれらの性質を取り入れた解き方でクセをつけておいたほうがよさそうですね＾＾；

算数でつまづいているような私ですが、高校数学理解！までが夢です（笑）

回答No.2

sanori

こんばんは！

＞＞＞すぐに解けてしまうのは何故でしょうか？

慣れです。

７５／１００　の場合は分母が１００なので、円グラフを思い出すとよいです。
円の形をしたケーキを４つに切ります。
２５％は円の面積の４分の１なので、２５／１００＝１／４
そして、
７５％というのは、２５％を取り去った後の残りなので、３／４です。
こういったことも、慣れによって簡単に理解できます。

１の位が０であれば、１０の倍数というのはわかりますよね？
そして、
１の位が５であれば、１０の倍数とまではいかなくても５の倍数です。
＜例＞
１４０は、１の位が０なので１０の倍数（当然、５の倍数でもある）
１４５は、１の位が５なので１０の倍数ではないが、５の倍数

あと、
３の倍数や９の倍数についてもコツがあります。
‘ある数’の各桁の数字を合計したら９の倍数になるとき、‘ある数’は９の倍数です。
また、
‘ある数’の各桁の数字を合計したら３の倍数になるとき、‘ある数’は、９の倍数とまではいかなくても３の倍数です。

＜例＞
５８５は、５＋８＋５＝１８　であり、１８は９の倍数なので
５８５は９の倍数（当然３の倍数でもある）

１２３は、１＋２＋３＝６　であり、６は３の倍数なので、
１２３は３の倍数

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

＞慣れです

単純なお答えに愕然としました。私はものすごく数字に弱いので、果たして慣れるのだろうかと常々思うので・・・

けれど、回答者様の説明されている「図（円の形をしたケーキ）」で考えるというアドバイス、非常にわかりやすいですね！やみくもに3/6、75/100の数字で考えるより、図として概念そのものを認識しないと数字って役に立ちませんよね・・・・

5の段は1の位が0か5が必ずつきますね。恥ずかしながら、そういえばそうだ・・・というかんじです。

3、9の倍数にもこんな便利なことがあったのですねー！これは・・・習ったのかなあ？？？今始めて知ったように思います。

ありがとうございます。約分が楽になりそうです。おかげさまで先に進めそうです＾＾；

回答No.1

Cupper

始めに２で割ってみる
割れないなら次に３で割ってみる
それでも割れないなら５で割ってみる
それでもやっぱり割れないなら７で割ってみる
１１，１３，１７，１９，２３，２７…
など、順番に素数で割ってみるようにすればOK
割れたら、もう一度始めに戻って割っていけば割り切れなくなった時点で約分は終わりです

お礼

すごい！
２で割ってみてダメなら、素数、つまり奇数と認識して良いのでしょうか？（馬鹿ですみません・・・）
で割っていけば良いのですか！
これなら考える時間が今までの半分になりますね。

数学（私がやっているのは算数ですが；）に近道なし、と思っていたのですが、考え方を変えることで早道もあるとわかるだけでちょっと楽しくなってきます。ありがとうございますね！