積分なのですが

質問

∫f(x)*cosa*x dx で0～2πまでの範囲を求めたいのですが。（aは1,2などの整数が入ります）
f(x)がxとなるのが　　　0<x<=π/2の範囲
f(x)が-x+πとなるのが　π/2<x<=3π/2の範囲
f(x)がx-2πとなるのが　3π/2<x<=2πの範囲
とした時の積分結果はどうなるのでしょうか？
もしわかれば教えて頂けると嬉しいです

回答No.4

noname#104778

∫xcosx dxの不定積分を考えてみましょう。部分積分により，
∫xcosx dx=∫x(sinx)'dx=xsinx-∫x'sinxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C
これを基本として，例えばcosxがcosaxのときを考えると，
∫xcosax dx=∫(x/a)(sinax)' dx=(x/a)sinax-∫(x/a)'sinaxdx=(x/a)sinax-(1/a)∫sinaxdx=(x/a)sinax+(1/a^2)cosax+Cとなりますね？で，0～π/2を入れてやると(aπSin[aπ/2]+2Cos[aπ/2]-2)/2a^2になります。
ここまで書けばもう他の2つもできますね？自分で手を動かしましょう。

回答No.3

noname#104778

cosa*xというのはCos[ax]でよいですか？x*cos[a]ではないですね？
ですと，普通に計算すると
0<x<=π/2の範囲：
(-2+2Cos[aπ/2]+aπSin[aπ/2])/2a^2

π/2<x<=3π/2の範囲:
-(aπCos[aπ/2]-2Sin[aπ/2])*Sin[aπ]/a^2

3π/2<x<=2πの範囲:
(-2Cos[3aπ/2]+2Cos[2aπ]+aπSin[3aπ/2])/2a^2

となります(計算ミスがなければ)。
これを足して整理すると
(64Cos^2[aπ/4]*Cos[aπ/2]*Sin^4[aπ/4])/a^2
aが整数ならいつでも分子は0になりますね。

お礼

回答ありがとうございます
面倒だとは思いますが途中式もお願いしたいです
よろしくお願いします

回答No.2

4028

場合分けです。
0<x<=π/2の範囲
π/2<x<=3π/2の範囲
3π/2<x<=2πの範囲
の３つに分ける

∫(π/2 0)f(x)cosax dx +∫(3π/2 π/2)f(x)cosax dx+∫(2π 3π/2)f(x)cosax dx
これを計算する。
積分区間は(　)の中の数字です。すいません。
π/2<x<=3π/2の範囲の時はf(x)が「ー」なので注意！

お礼

回答ありがとうございます
できればその後の積分もやってみて欲しいです

回答No.1

4028

場合分けです。
0<x<=π/2の範囲
π/2<x<=3π/2の範囲
3π/2<x<=2πの範囲
の３つに分ける

お礼

回答ありがとうございます
できればその後の積分もやってみて欲しいです