傍心の問題

質問

参考書の解説を読んでいてわからないところがあったので質問させていただきます。お答えいただければ幸いです。

OB=4,OA=5,AB=6の三角形OABがある。角Bの2等分線とOAとの交点をCとし、また角Bの2等分線上の傍心をNとする。このときOC：OB＝CN:NBになるらしいんですが、どうしてそうなるのかわかりません。どなたかわかる方教えてください。

回答No.1

debut · ベストアンサー

角の二等分線の性質から
ＯＣ ：ＡＣ ＝ＯＢ：ＡＢ＝２：３なのでＯＣ ＝２，ＡＣ ＝３
ＢＡの延長上に点Ｐをとると、∠ＮＡＰ＝∠ＮＡＣ ・・(1)
ＮＡと平行でありＣ を通る直線とＡＢとの交点をＱとすれば
∠ＡＱＣ ＝∠ＮＡＰ・・(2)
∠ＡＣ Ｑ＝∠ＮＡＣ・・(3)
(1),(2),(3)から∠ＡＱＣ＝∠ＡＣ Ｑ
よって、ＡＣ＝ＡＱ＝３（ＱはＡＢの中点）
△ＢＣ Ｑ∽△ＢＮＡだから、Ｃ はＢＮの中点です。
よって、ＯＣ：ＯＢ＝Ｃ Ｎ：ＮＢ＝１：２

一般的にみると（上と同じ点の配置でいえば）、
ＡＢ＝ｘ、ＯＢ＝ｙとすれば、角の二等分線の性質から、
ＡＣ：Ｏ Ｃ＝ｘ：ｙなので、定数ｍを使いＡＣ＝ｍｘ、ＯＣ＝ｍｙ
と表せます。
上のと同じように点Ｑをとれば、ＡＣ＝ＡＱ＝ｍｘと三角形の相似
からＡＱ：ＡＢ＝Ｃ Ｎ：ＮＢ＝ｍ：１
Ｏ Ｃ：Ｏ Ｂ＝ｍ：１
よって、Ｏ Ｃ：Ｏ Ｂ＝Ｃ Ｎ：ＮＢとなりますね。

お礼

平行線をひけばきれいに解けるんですね。
回答ありがとうございます。助かりましたm( _ _ )m