平方根を含む方程式について

質問

共有点の個数をもとめよ。　y=√(8x-8)+1,y=kx

上のような問題が出題されたのですが、わからない部分があったので質問させていただきます。
解答を進めていく上で次のような方程式を解くことになります。

√(8x-8)+1=kx

模範解答では　k^2x^2-2(k+4)x+9=0 となっています。
+1を移行して両辺を二乗すればよいのだとは思うのですが、移行しないまま二乗すると√が消えなくなってしまいます。(というか、別の式になってしまいます。)
最初から二乗するやり方ではダメなのでしょうか。ダメでないのならその計算過程を知りたいです。
僕の計算が間違っているかもしれませんが…。

回答No.2

proto · ベストアンサー

最初から二乗するやり方でも一応出来ますよ。
　　√(8x-8)+1 = kx
両辺を二乗して
　　8x-8 +2√(8x-8) +1 = k^2x^2
　　8x-8 +2√(8x-8) +2 -1 = k^2x^2
　　8x-8 +2(√(8x-8)+1) -1 = k^2x^2
√(8x-8)+1=kxより
　　8x-8 +2kx -1 = k^2x^2
　　k^2x^2 -2kx -8x +9 = 0
　　k^2x^2 -2(k+4)x +9 = 0

移項してから二乗する方法と結果が一致しましたね。
ですが、途中で代入を挟まなければいけない手間を考えると、やはり移項してから二乗の方が"賢い"やり方のようです。

お礼

回答ありがとうございます。
知りたかったことがわかってスッキリしました。

回答No.3

gohtraw

移項しないで二乗すると
（８ｘ－８）＋２√（８ｘ－８）＋１＝ｋ＾２ｘ＾２
√（８ｘ－８）＝（ｋ＾２ｘ＾２－（８ｘ－８）－１）／２
となり、これを√（８ｘ－８）＋１＝ｋｘ
に代入すると結局移項してから二乗したのと同じことになります。ダメではないですがどちらが楽かというと・・・。

お礼

回答ありがとうございます。
おかげですっきりしました。

回答No.1

oldmacfan

模範解答はあっています。
質問者さんの仰るとおり、1を移行すれば出てきます。

√(8x-8)=kx-1
として、両辺を２乗しますと左辺はルートが消えて
8x-8=(kx-1)^2
となりますが、
この右辺が２乗の和の展開公式により
(kx-1)^2=(k^2)x^2-2kx+1
となり、結局
8x-8=(k^2)x^2-2kx+1
となり、8x-8を右辺に移項すれば
0=(k^2)x^2-2kx-8x+1+8
模範解答の式
(k^2)x^2-2(k+4)x+9=0 ←xについて降べきの順に整理した
が出てきます。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。