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確率の問題を見てください。(ランダムウォーク)

問題 サイコロを1個投げ、その出た目によって数直線上を次のように動く点Pがある。  ・1,2の目が出たら、正の方向に1進む。  ・3,4の目が出たら、その場にとどまる。  ・5,6の目が出たら、負の方向に進む。 このとき、次の確率を求めよ。ただし、点Pは原点0から出発し、座標が2の点をQとする。 ☆サイコロを4回投げるとき、点Pが1度も点Qを訪れない確率 私の作った解答は以下です。 解答 点Pが点Qを訪れる確率を考えると、 (1)点Pが点Qを2回目で初めて訪れる場合  はじめに2回続けて1,2の目が出ればよいので   (1/3)^2*(3/3)^2=(1/9) (2)3回目で初めて訪れる場合  3,4の目が1回目か2回目に出て、あと2回1,2の目が出ればよいので   2C1*(1/3)*(1/3)^2*(3/3)=(6/81)=(2/27) (3)4回目で初めて訪れる場合  はじめの2回で1,2か5,6の目が1回ずつ出て、  あと2回1,2の目が出ればよいので   2C1*(1/3)^2*(1/3)^2=(2/81) (1)、(2)、(3)は排反な事象であり、 合計すると点Pが点Qを訪れる確率となるので   (1/9)+(2/27)+(2/81)=(9+6+2)/81=(17/81)・・・※ 求める確率は※の余事象の確率であるから、   1-(17/81)=(64/81)・・・答 以上のように作ってみましたが、確信はありません。 チェックしていただける方、よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

場合分けを次のように考えてみました。 4回までの試行のうち ・1,2の目が x回 ・3,4の目が y回 ・5,6の目が z回 起きたとします。x, y, zは0以上4以下の整数になります。 2回目、3回目、4回目で初めて訪れる場合を考えるのであれば、 x+ y+ z= 2 or 3 or 4 そのときの位置は「+2」であるので x- z= 2 すなわち z= x-2 ここで z≧0を用いれば x≧2となります。 (最低でも2回は正の方向に進まないと「+2」に到達しないことを示しています) この2つの式を連立させていきます。 x+ y+ z= 2 or 3 or 4と z= x-2より、x+ 2y= 4 or 5 or 6 としておきます。 (1) 2回目で初めて訪れる x+ y+ z= 2, z= x-2 ⇒ x+ 2y= 4, z= x-2, x≧2 ⇒ (x, y, z)= (2, 0, 0) (2) 3回目で初めて訪れる x+ y+ z= 3, z= x-2 ⇒ x+ 2y= 5, z= x-2, x≧2 ⇒ (x, y, z)= (2, 1, 0) (3) 4回目で初めて訪れる x+ y+ z= 4, z= x-2 ⇒ x+ 2y= 6, z= x-2, x≧2 ⇒ (x, y, z)= (2, 2, 0), (3, 0, 1) (3, 0, 1)は、「はじめの2回で1,2か5,6の目が1回ずつ出て、あと2回1,2の目が出ればよいので」を表していますが、 (2, 2, 0)が漏れていることになります。 これは「3回目までに 1,2が1回と 3,4が2回出て、4回目に 1,2が出る」ことになります。

myuumin
質問者

お礼

ありがとうございます。 大変参考になりました。 4回めで初めて訪れる場合の中にもれがあったのですね。 ちなみに、 x+y+z=2or3or4 と z=x-2 より、x+2y=4or5or6のx+2y は、 2x+y でもいいのでしょうか?

その他の回答 (2)

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.3

#1です。 >x+y+z=2or3or4 と z=x-2 より、x+2y=4or5or6のx+2y は、 >2x+y でもいいのでしょうか? 指摘されているとおり、記載ミスでした。 計算は 2x+yでの結果ですので、合っていると思います。 xの値から決めていくと、すんなり出ると思います。 失礼しました。

  • aqfeplus
  • ベストアンサー率50% (15/30)
回答No.2

チェックしました、が、私も自信があるわけではありません。 ひとつ抜けがあります。 (3)4回目で初めて訪れる場合 ・はじめの2回で1,2か5,6の目が1回ずつ出て、残り2回1,2の目が出る場合(2/81) に加えて、 ・はじめの3回のうち、2度3,4が出て、1度1,2の目が出る。残りの4回目は1,2が出る。 3C2*(1/3)^2 * (1/3) * (1/3) = 3/81 よって 1-(20/81)=(61/81)・・・答

myuumin
質問者

お礼

ありがとうございます。 やはりもれていたんですね(恥) 4回めではじめて訪れる場合もその場に止まってもいいんですか。。 動くことばかり考えていました。 「もれなく重複することなく」がなかなかできません(泣)

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